Riyazi məntiqin əsas anlayışları. “Məntiqi qiymətlər, əməliyyatlar, ifadələr Məntiqi qiymətlər üçün hansı əməliyyatdan istifadə olunur

1. Məntiqi kəmiyyətlər, əməllər, ifadələr. Məntiqi ifadələr budaqlanan və siklik alqoritmlərdə şərtlər kimi.

Budaqlanan və siklik alqoritmlərin işini başa düşmək üçün məntiqi ifadə anlayışını nəzərdən keçirin.

Bəzi hallarda proqramda fəaliyyət variantının seçilməsi bəzi dəyişənlərin qiymətlərinin bir-biri ilə necə korrelyasiya olmasından asılı olmalıdır.

Məsələn, kvadrat tənliyin köklərinin hesablanması diskriminantdan asılı olaraq fərqli şəkildə aparılır (riyaziyyatı xatırlayın).

İki ifadənin dəyərlərini müqayisə etmək nəticəsində iki mümkün cavab mümkündür: müqayisə doğru və ya yalan?

Misal üçün:

2+3 > 3+1 - bəli (doğru)

0 < -5 - нет (ложно)

Bu cür ifadələri adlandıracağıq məntiqi ifadələr.

Riyazi ifadə kimi məntiqi ifadə yerinə yetirilir (hesablanır), lakin nəticə rəqəm deyil, məntiqi qiymətdir: doğru (doğru) və ya yalan (yanlış). boolean dəyəri həmişə verilən ifadənin doğru olub-olmaması sualının cavabıdır.

Biz altı müqayisə əməliyyatını bilirik:

Bu əməliyyatların köməyi ilə məntiqi ifadələr tərtib edəcəyik. Üstəlik, ifadələr mütləq yalnız sabitləri deyil, həm də dəyişənləri ehtiva edir.

Ədədi dəyərlər üçün nisbət əməliyyatlarının necə yerinə yetirildiyi riyaziyyatdan aydındır. Simvolik dəyərlər necə müqayisə edilir? "Bərabərdir" əlaqəsi iki simvol dəyəri üçün doğrudur, əgər onların uzunluqları eynidırsa və bütün uyğun simvollar uyğun gəlir. Qeyd edək ki, boşluq həm də simvoldur.

Simvolik dəyərlər əlaqələrdə də müqayisə edilə bilər >,<, >=, <=. Здесь упорядоченность слов (последовательности символов) определяется по алфавитному принципу.

"pişik" = "pişik"

"pişik"< «лис»

"pişik" > "ev"

Bir məntiqi qiymətdən və ya bir əlaqədən ibarət ifadə sadə məntiqi ifadə adlanacaqdır.

Çox vaxt fərdi şərtlərin deyil, bir-biri ilə əlaqəli şərtlərin (münasibətlərin) məcmusunun istifadə olunduğu vəzifələr var. Məsələn, bir mağazada ölçüsü r = 45, rəng rəngi = ağ, qiyməti 400 rubldan çox olmayan ayaqqabıları seçməlisiniz.

Başqa bir misal: tələbə bildi ki, şokolad çubuğunun qiyməti 3 rubl olarsa ala bilər. və ya 3 rub. 50kop.

Birinci misalda biz “və” birliyi və “deyil” zərrəciyi ilə bağlanan üç münasibətdən, ikincidə “yaxud” birliyi ilə bağlanan iki münasibətdən bəhs edirik. Biz belə şərtləri deyirik tərkib, və onları alqoritmdə təyin etmək üçün birliklərdən istifadə etməyə razıyıq " Və", "və ya", "yox", bunu sadə şərtlərdən mürəkkəb şərtlər yaratmağa imkan verən məntiqi əməliyyatların əlamətləri kimi nəzərdən keçirəcəyik, necə ki +, - və s. işarələrindən istifadə edərək sadə dəyişənlərdən və sabitlərdən cəbri ifadələr yarada bilərsiniz.

Beləliklə, alqoritmdəki nümunələrimizin şərtləri belə görünə bilər:

birinci:(r=45) Və(rəng=ağ) Və (yox(qiymət >400))

ikinci:(qiymət=3) və ya(qiymət=3.5)

Məntiqi əməliyyatları ehtiva edən ifadə mürəkkəb məntiqi ifadə adlanacaq.

İki (və ya daha çox) ifadəni "və" birləşməsindən istifadə edərək birləşdirmək əməliyyat adlanır məntiqi vurma və ya bağlayıcı .

Bütün məntiqi ifadələr doğru olarsa, məntiqi vurmanın (bağlamanın) nəticəsi doğrudur.

İki (və ya daha çox) ifadənin "və ya" birləşməsinin köməyi ilə birləşdirilməsi əməliyyat adlanır məntiqi əlavə və ya disjunksiya .

Məntiqi toplama (dizyunksiya) nəticəsində ən azı bir məntiqi ifadə doğru olarsa, doğru alınır.

Bəyanata “deyil” zərrəciyinin əlavə edilməsi əməliyyat adlanır məntiqi inkar və ya inversiya .

İnkar boolean dəyərinin dəyərini dəyişdirir: yox doğru = yalan; yox yalan = doğru.

Mürəkkəb məntiqi ifadədə bir neçə məntiqi əməliyyat varsa, o zaman kompüterin onları hansı ardıcıllıqla yerinə yetirəcəyi sualı yaranır. Üstünlüyün azalan ardıcıllığında məntiqi əməliyyatlar aşağıdakı ardıcıllıqla düzülür:

inkar ( yox);

bağlayıcı ( Və);

disjunksiya ( və ya).

Məntiqi ifadələrdə mötərizələrdən istifadə edə bilərsiniz. Riyazi düsturlarda olduğu kimi, mötərizələr də əməliyyatların ardıcıllığına təsir göstərir. Mötərizələr yoxdursa, əməliyyatlar onların üstünlüyünə görə yerinə yetirilir.

Misal. a, b, c aşağıdakı dəyərlərə malik olan məntiqi dəyərlər olsun: a = doğru, b = yalan, c = doğru. Aşağıdakı məntiqi ifadələrin qiymətləndirilməsinin nəticələrini müəyyən etmək lazımdır:

a Və b

a və ya b

yox a və ya b

a Və b və ya c

a və ya b Və c

yox a və ya b Və c

(a və ya b) Və(dan və ya b)

yox(a və ya b) Və(dan və ya b)

yox(a Və b Və c)

Nəticədə əldə edirik:

Misal. Hesablama alqoritmini yazın:

Hesablama alqoritmi x

Başlamaq
giriş (a, c)
əgər (4*а – с >=0) və (а<>0) sonra
Başlamaq
x:= kök(4*a - c)/(2*a)
çıxış(x)
son
əks halda
çıxış ("həll yoxdur")
son

Kompüter əvvəlcə vəziyyəti yoxlayacaq (4*a - c >= 0) və (a<>0) və doğru olduğu ortaya çıxarsa, x hesablayın, əks halda "həll yoxdur" mesajını göstərəcək.

Misal. 1-dən n-ə qədər bütün ədədlərin cəminin hesablanması alqoritmini yazın.

Alqoritm Ədədlərin cəminin hesablanması
dəyişənlər a, c, x - real
Başlamaq
giriş(n)
x:= 1
salam x Başlamaq
s:= s + x
x:= x +1
son
çıxış(lar)
son

Şərti x olduğu müddətcə

Fərdi slaydlarda təqdimatın təsviri:

1 slayd

Slaydın təsviri:

Məntiqi kəmiyyətlər, əməllər, ifadələr. (10-cu sinif) Tamamlayan: informatika müəllimi MBOU Salqan orta məktəbi-Qluxova T.İ.

2 slayd

Slaydın təsviri:

Məntiqin əsas anlayışlarına aşağıdakılar daxildir: İfadə Boolean dəyəri Məntiqi əməliyyatlar Məntiqi ifadələr Düsturlar

3 sürüşdürmə

Slaydın təsviri:

Bəyanat (hökm) bir şeyin təsdiq və ya inkar edildiyi elanedici bir cümlədir. İstənilən ifadənin doğru və ya yalan olduğunu söyləmək olar. Məsələn: “Kənarda yağış yağır” bu an havanın vəziyyətindən asılı olaraq doğru və ya yalan olacaq. Bərabərsizlik şəklində yazılmış "Qiymət daha böyükdür" ifadəsinin doğruluğu: > , dəyişənlərin qiymətlərindən asılı olacaq və.

4 sürüşdürmə

Slaydın təsviri:

Cümlələrdən hansı ifadədir? Onların həqiqətini müəyyənləşdirin. Bu lent nə qədərdir? Mesaja qulaq asın. Səhər məşqləri edin! Daxiletmə qurğusunu adlandırın. Kim yoxdu? Paris İngiltərənin paytaxtıdır. 11 rəqəmi sadədir. 4 + 5 = 10. Heç çətinlik çəkmədən gölməçədən balıq çıxara bilməzsiniz. 2 və 5 rəqəmlərini əlavə edin. Bəzi ayılar şimalda yaşayır. Bütün ayılar qəhvəyi rəngdədir. Moskvadan Leninqraddan nə qədər məsafə var?

5 sürüşdürmə

Slaydın təsviri:

Məntiqi dəyərlər sözlərlə ifadə olunan anlayışlardır: TRUE, FALSE (doğru, yalan). Odur ki, müddəanın həqiqəti məntiqi kəmiyyətlərlə ifadə olunur. Boolean dəyişəni: Simvol olaraq işarələnmiş məntiqi dəyər. Məsələn: A, B, X, Y və s.-nin dəyişən məntiqi qiymətlər olduğu məlumdursa, onda onlar yalnız DOĞRU və ya YANLIŞ qiymətini qəbul edə bilərlər. Məntiqi ifadə sadə və ya mürəkkəb ifadədir. Mürəkkəb ifadə məntiqi əməliyyatlardan (əlaqələrdən) istifadə edərək sadə olanlar üzərində qurulur.

6 sürüşdürmə

Slaydın təsviri:

Məntiqi əməliyyatlar Birləşmə (məntiqi vurma) A və B kimi yazılmış iki yerli əməliyyat. Ən azı bir operandın qiyməti yalan olarsa, belə ifadənin dəyəri YANLIŞ olacaqdır. Ayrılma (məntiqi əlavə) A V B kimi yazılmış iki yerli əməliyyat. Ən azı bir operandın qiyməti doğru olarsa, belə ifadənin dəyəri TRUE olacaq. İnkar unar (bir yerdə) əməliyyatdır. ¬ A və ya Ā kimi yazılır.

7 sürüşdürmə

8 sürüşdürmə

Slaydın təsviri:

Məntiqi düstur yalnız məntiqi dəyərləri və məntiqi əməliyyatların əlamətlərini ehtiva edən düsturdur. Məntiqi düsturun hesablanmasının nəticəsi DOĞRU və ya YANLIŞ-dır.Məntiqi düsturlarda əməliyyatların ardıcıllığı əməliyyatların üstünlüyü ilə müəyyən edilir. Məntiqi əməliyyatlar üstünlük sırasına görə aşağıdakı kimi düzülür: inkar, birləşmə, diszyunksiya. Bundan əlavə, əməliyyatların yerinə yetirilmə ardıcıllığına məntiqi düsturlarda istifadə oluna bilən mötərizələr təsir edir. Məsələn: (A&B)v(Ā&B)v(Ā&B)

9 sürüşdürmə

Slaydın təsviri:

Nümunə 1: Məntiqi düsturun qiymətini hesablayın ¬ X & Y v X & Z Məntiqi dəyişənlərin aşağıdakı qiymətləri varsa: X=YANLIŞ, Y= TRUE, Z=DOĞRU. Həlli: Düsturda əməliyyatların yerinə yetirilmə ardıcıllığını yuxarıdan rəqəmlərlə qeyd edirik: Həqiqət cədvəlindən istifadə edərək düsturu addımlarla hesablayın: ¬ FALSE = TRUE; TRUE & TRUE = TRUE; FALSE & TRUE = FALSE; TRUE v FALSE = DOĞRU. ¬ X & Y v X və Z 1 2 3 4

10 slayd

Slaydın təsviri:

Nümunə 2 Məntiqi ifadənin qiymətini təyin edin: (X > Z) deyil, (X = Y): 1) X = 3, Y = 5, Z = 2; 2) X = 0, Y = 1, Z = 19; 3) X=5, Y=0, Z=-8; 4) X = 9, Y = -9, Z = 9.

11 slayd

Slaydın təsviri:

Ədədi dəyərlər sahəsində məntiqi funksiyalar Cəbri ifadələrin qiymətlərinin müəyyən bir çoxluğa aid olub-olmadığını yoxlamaq lazım olduğu hallarda rəqəmlərin cəbri məntiq cəbri ilə kəsişir. Məsələn, X ədədi dəyişəninin qiymətinin müsbət ədədlər çoxluğuna aid olması belə ifadə ilə ifadə olunur: “X sıfırdan böyükdür”. Simvolik olaraq bu belə yazılır: X > 0. Cəbrdə belə ifadə bərabərsizlik, məntiqdə isə əlaqə adlanır. X>0 əlaqəsi doğru və ya yalan ola bilər. X müsbətdirsə, doğrudur, mənfidirsə, yanlışdır. Ümumiyyətlə, əlaqə aşağıdakı quruluşa malikdir:<выражение 1> <знак отношения> <выражение2>Əlaqə əlamətləri: = ;<>; >; <; >= ; <=.

12 sürüşdürmə

Slaydın təsviri:

Münasibət sadə ifadədir və buna görə də məntiqi dəyərdir. O, ya sabit ola bilər: 5>0 - həmişə DOĞRU, 3≠6:2 - həmişə YANLIŞ; və dəyişən: a 0) və ya P(x,y)=(x

13 sürüşdürmə

Slaydın təsviri:

Nümunə: X və Y koordinatları olan koordinat müstəvisindəki nöqtə başlanğıcda mərkəzləşmiş vahid çevrənin içərisində olarsa, DOĞRU olacaq iki həqiqi X və Y arqumentindən predikat (məntiqi funksiya) yazın. Həlli: Həndəsi mülahizələrdən aydın olur ki, vahid dairənin daxilində yerləşən bütün nöqtələr üçün aşağıdakı məntiqi funksiyanın qiyməti doğru olacaqdır: F(X,Y)=(X2 +Y2)<1) Для значений координат точек, лежащих на окружности и вне её, значение функции Y будет ложным. 1 1 -1 0 Y X

14 sürüşdürmə

Slaydın təsviri:

Paskalda məntiqi ifadələr Məntiqi sabitlər: true(doğru), false(false). Boolean dəyişənləri: Boolean növü ilə elan edilir. Əlaqəli operatorlar: iki operandı müqayisə edin və onlar arasında uyğun əlaqənin doğru və ya yalan olduğunu müəyyənləşdirin. Əlaqəli əməliyyatların əlamətləri Məntiqi əməliyyatlar: deyil – inkar; və - məntiqi vurma (bağlama); və ya -məntiqi əlavə (dizyunksiya); xor OR istisnasıdır. Bu əməliyyatlar üçün həqiqət cədvəli(T- doğru, F-yanlış) = ;<>; >; <; >= ; <=. A B not A A and B A or B AxorB T T F T T F T F F F T T F T T F T T F F T F F F

Bəyanat (hökm) - bir şeyin təsdiq və ya inkar edildiyi elanedici cümlədir. İstənilən ifadənin doğru və ya yalan olduğunu söyləmək olar. Misal üçün:

"Buz suyun bərk halıdır" sözü doğrudur.

“Üçbucaq həndəsi fiqurdur” sözü doğrudur.

“Paris Çinin paytaxtıdır” yalan bəyanatdır.

6 < 5 - ложное высказывание.

Boolean dəyərləri: sözləri ilə ifadə olunan anlayışlar: DOĞRU, YANLIŞ (doğru, yalan). Nəticə etibarı ilə müddəaların həqiqəti məntiqi kəmiyyətlərlə ifadə olunur.

Boolean sabiti: Doğru və ya yanlış.

Boolean dəyişəni: simvolik olaraq işarələnmiş məntiqi dəyər. Ona görə də məlum olarsa A, B, X, Y və və s. - dəyişən məntiqi dəyərlər, bu o deməkdir ki, onlar yalnız TRUE və ya FALSE dəyərlərini qəbul edə bilərlər.

boolean ifadəsi- sadə və ya mürəkkəb ifadə. Məntiqi əməliyyatların (əlaqələrin) köməyi ilə sadə olanlardan mürəkkəb bəyanat qurulur.

məntiqi əməliyyatlar. Riyazi məntiqdə beş əsas məntiqi əməliyyat müəyyən edilir: birləşmə, disjunksiya, inkar, implikasiya, ekvivalentlik. Onlardan ilk üçü tam əməliyyat sistemi, nəticədə, qalan əməliyyatlar onların ifadəsi ilə ifadə edilə bilər (normallaşdırılır). Kompüter elmində bu üç əməliyyatdan çox istifadə olunur.

Bağlayıcı(məntiqi vurma). Rus dilində ittifaqla ifadə olunur I. Riyazi məntiqdə işarələrdən istifadə olunur & və ya . Birləşmə iki yerli əməliyyatdır; kimi yazılır: AMMA IN. Operandlardan ən azı birinin dəyəri yalan olarsa, belə bir ifadənin dəyəri FALSE olacaqdır.

disjunksiya ( məntiqi əlavə). Rus dilində bu paket OR ittifaqına uyğundur. Riyazi məntiqdə v ilə işarələnir. Disjunksiya iki yerli əməliyyatdır; kimi yazılır: A v IN. Operandlardan ən azı birinin dəyəri doğru olarsa, belə ifadənin dəyəri TRUE olacaqdır.

İnkar. Rus dilində bu paket DEYİL hissəciyinə uyğun gəlir (bəzi ifadələrdə “bu doğru deyil ...” ifadəsi istifadə olunur). İnkar birlik (bir yerdə) əməliyyatdır; kimi yazılır: A və ya .

Boolean düsturu (boolean ifadəsi) - yalnız məntiqi kəmiyyətləri və məntiqi əməliyyatların əlamətlərini ehtiva edən düstur. Məntiqi formulun qiymətləndirilməsinin nəticəsi DOĞRU və ya YANLIŞ-dır.

Misal 1 Mürəkkəb ifadəni nəzərdən keçirək: "6 rəqəmi 2-yə, 6 rəqəmi isə 3-ə bölünür." Bu ifadəni məntiqi düstur kimi təqdim edin. ilə işarələyin AMMA sadə bir ifadə "6 rəqəmi 2-yə bölünür" və vasitəsilə IN sadə bir ifadə "6 rəqəmi 3-ə bölünür". Sonra müvafiq məntiqi düstur belə görünür: AMMA& IN. Aydındır ki, onun mənası DOĞRUDUR. Misal 2 Kompleks ifadəni nəzərdən keçirək: "Yayda mən kəndə və ya turist səfərinə gedəcəyəm."

ilə işarələyin AMMA sadə bir ifadə "yayda kəndə gedəcəyəm" və vasitəsilə IN- “Yayda turist səfərinə gedəcəyəm” sadə ifadəsi. Onda mürəkkəb ifadənin məntiqi forması formaya malikdir

Misal 3 Bu ifadəni nəzərdən keçirin: "4-ün 3-ə bölünməsi doğru deyil".

ilə işarələyin AMMA sadə söz "4 3-ə bölünür". Onda bu ifadənin inkarının məntiqi forması formaya malikdir AMMA

Məntiqi əməliyyatların yerinə yetirilməsi qaydaları həqiqət cədvəli adlanan aşağıdakı cədvəldə öz əksini tapmışdır.

Məntiqi düsturlarda əməliyyatların ardıcıllığı əməliyyatların üstünlüyü ilə müəyyən edilir. Məntiqi əməliyyatlar prioritetin azalan ardıcıllığı ilə aşağıdakı kimi təşkil edilir: inkar, birləşmə, ayrılıq. Bundan əlavə, əməliyyatın ardıcıllığına məntiqi düsturlarda istifadə edilə bilən mötərizələr təsir edir.

Əsas kursda riyazi məntiqin tətbiqi

Verilənlər bazasında riyazi məntiq. Tələbələr informatikanın əsas kursunu öyrənərkən ilk olaraq “Məlumat bazaları” (VB) mövzusunda riyazi məntiq elementləri ilə qarşılaşırlar. Əlaqəli verilənlər bazalarında məntiqi dəyərlər məntiqi tipli sahələrdir. Boolean növü digər sahə növləri ilə birlikdə istifadə olunur və tələbələr onu ayırd etməyi öyrənməlidirlər.

Məntiqi dəyər haqqında ilk anlayış alternativ suala cavab kimi verilə bilər. Məsələn: "Bu kitab kitabxanadadır?" və ya “Abituriyent universitetə ​​gedibmi” və ya “Çöldə yağış yağır?” və s. Bu cür sualların cavabı yalnız “bəli” və ya “yox” ola bilər. Sinonimlər "doğru", "yalan"dır; doğru yalan. Cədvəl sahəsi yalnız belə dəyərləri qəbul edərsə, ona mantiq növü təyin olunur.

Məsələn, SEÇİLMƏLƏR relational verilənlər bazası geologiya, çiçəkçilik və rəqs üzrə üç seçmə fənn üzrə tələbə davamiyyətinin qeydlərini ehtiva edir. Əlaqəli dildə onun strukturu aşağıdakı kimi təsvir olunur:

OPSİYONLAR (TƏLƏBƏ. GEOLOGİYA, FLORIOLOGİYA, RƏQSLER)

GEOLOGY, FLORIST və DANCE sahələri Boolean tipinə malik olacaq. Hər bir sahə üçün DOĞRU dəyəri tələbənin həmin seçmə fənndə iştirak etdiyini, YANLIŞ isə iştirak etmədiyini göstərir.

Məntiqi ifadələr verilənlər bazası sorğularında axtarış şərtləri kimi istifadə olunur. Məntiqi ifadələr sadə və mürəkkəbə bölünür. Sadə ifadələrdə həmişə yalnız bir cədvəl sahəsi istifadə olunur və məntiqi əməliyyatlar tətbiq edilmir. Mürəkkəb məntiqi ifadələr məntiqi əməliyyatlardan istifadə edir. Sadə bir mantiq ifadəsi ya məntiqi tipli sahənin adıdır, ya da münasibət(riyaziyyatda “bərabərsizlik” deyirlər). Ədədi kəmiyyətlər üçün əlaqələr riyazi bərabərsizliklərin mənasını saxlayır; simvolik dəyərlər üçün münasibətlər hesablanarkən leksikoqrafik sıra nəzərə alınır; tarixlər onların təqvim ardıcıllığı ilə müqayisə edilir.

Əsas problem tələbələrə axtarış şərtlərinin məntiqi ifadələr şəklində formal təsvirini öyrətməkdir. Məsələn, "beşinci rəfdən yuxarı olan bütün kitabları tapın" ifadəsindən məntiqi ifadəyə keçmək lazımdır: RAF > 5; və ya "fizikadan uğursuz olanların hamısını seçin" şərtini aşağıdakı formada təqdim etmək: FİZİKA< 3; или «выбрать все дни, когда шел дождь» ОСАДКИ = «дождь».

Axtarış şəraitində boolean sahələrin istifadəsinə xüsusi diqqət yetirilməlidir. Normalda münasibətlər onlara şamil edilmir. Məntiqi sahənin özü məntiqi dəyər daşıyır: “doğru” və ya “yanlış”. Məsələn, "rəqsdə iştirak edən bütün tələbələri seçin" şərti tək boolean sahə adı DANCES ilə təmsil olunacaq.

Mürəkkəb məntiqi ifadələr məntiqi əməliyyatları ehtiva edir. Riyazi məntiqin üç əsas əməliyyatı nəzərdən keçirilir: birləşmə (AND), disyunksiya (OR), inkar (NOT).

Adətən müəllim bu məsələni izah edərkən rus dilində VƏ, YA, YOX, DEYİL hissəciyini ehtiva edən ifadələrin semantik mənasından başlayır. Məsələn, “Bu gün cəbrdən VƏ fizikadan imtahan olacaq” ifadəsi hər iki nəzarət testi baş tutduqda doğrudur, heç olmasa biri keçirilmədikdə yanlışdır. Başqa bir ifadə: “Bu gün cəbr və ya fizikadan imtahan olacaq” ən azı bir imtahan keçirilərsə doğru olar. Və nəhayət, “Bu gün sınaq OLMAYACAQ” deyimi, əgər nəzarət baş tutmasa, yəni bu gün nəzarətin olacağı haqda deyilənlərin yalan olduğu ortaya çıxarsa, doğrudur. Belə nümunələrdən müəllim məntiqi əməliyyatların yerinə yetirilməsi qaydaları haqqında nəticə çıxarır:əgər A və B - boolean dəyərləri, sonra ifadə

A və B true yalnız hər iki operand doğru olduqda;

AMMA və ya IN false yalnız hər iki operand yalan olduqda;

yox AMMA məntiqi dəyərin qiymətini əksinə dəyişir: doğru deyil - yalan; yalan deyil - həqiqət.

Siz artıq riyazi məntiq elementləri ilə əsas məktəbin informatika kursunda tanış olmusunuz, verilənlər bazasına sorğuların yazılmasını və şərti funksiyaları öyrənirsiniz. ƏGƏR elektron cədvəllərdə, alqoritmləşdirmə və proqramlaşdırmanın əsasları. Proqramlaşdırma üçün istifadə etmək üçün biliklərinizi daha da dərinləşdirmək üçün məntiqin əsas anlayışlarını təkrarlayaq.

Məntiqin əsas anlayışları bunlardır: ifadə, məntiqi qiymət, məntiqi əməliyyatlar, məntiqi ifadələr və düsturlar.

Bəyanat (hökm)- Bu, bir şeyin təsdiq və ya inkar edildiyi deklarativ bir cümlədir. İstənilən ifadənin doğru və ya yalan olduğunu söyləmək olar.

Məsələn, “Çöldə yağış yağır” ifadəsi indiki havanın vəziyyətindən asılı olaraq doğru və ya yalan olacaq. Bərabərsizlik şəklində yazılmış "A-nın dəyəri B-dən böyükdür" ifadəsinin doğruluğu: A > B, A və B dəyişənlərinin qiymətlərindən asılı olacaq.

Boolean dəyərləri- sözləri ilə ifadə olunan anlayışlar: DOĞRU, YANLIŞ (doğru, yalan). Nəticədə, müddəaların həqiqəti məntiqi kəmiyyətlər vasitəsilə ifadə olunur.

Boolean sabiti: Doğru və ya yanlış.

Boolean dəyişəni: simvolik olaraq işarələnmiş məntiqi dəyər. Buna görə də A, B, X, Y və s.-nin dəyişən məntiqi qiymətlər olduğu məlumdursa, deməli, onlar yalnız TRUE və ya FALSE dəyərlərini qəbul edə bilərlər.

boolean ifadəsi- sadə və ya mürəkkəb ifadə. Məntiqi əməliyyatların (əlaqələrin) köməyi ilə sadə olanlardan mürəkkəb bəyanat qurulur.

Boolean əməliyyatları

Bağlayıcı (məntiqi vurma). Rus dilində VƏ birliyi ilə ifadə edilir.Riyazi məntiqdə & və ya ∧ işarələrindən istifadə olunur. Birləşmə iki yerli əməliyyatdır; kimi yazılır: A və B. Operandlardan ən azı birinin qiyməti yalan olarsa, belə ifadənin qiyməti YANLIŞ olacaqdır.

Diszyunksiya (məntiqi əlavə). Rus dilində bu paket OR ittifaqına uyğundur. Riyazi məntiqdə işarə ilə işarələnir v. Disjunksiya iki yerli əməliyyatdır; kimi yazılır: A v B. Operandlardan ən azı birinin qiyməti doğru olarsa, belə ifadənin qiyməti DOĞRU olacaq.

İnkar. Rus dilində bu paket DEYİL hissəciyinə uyğun gəlir (bəzi ifadələrdə “doğru deyil ki...” ifadəsi işlədilir). İnkar birlik (bir yerdə) əməliyyatdır; kimi yazılır: ¬ A və ya Ā.

Baxılan məntiqi əməliyyatların yerinə yetirilməsi qaydaları məntiqi əməliyyatların həqiqət cədvəli adlanan aşağıdakı cədvəldə öz əksini tapmışdır (burada AND “doğru”, L – “yanlış” deməkdir):

Boolean düsturu- yalnız məntiqi kəmiyyətləri və məntiqi əməliyyatların əlamətlərini ehtiva edən düstur. Məntiqi formulun qiymətləndirilməsinin nəticəsi DOĞRU və ya YANLIŞ-dır.

Məntiqi düsturlarda əməliyyatların ardıcıllığı əməliyyatların üstünlüyü ilə müəyyən edilir. Məntiqi əməliyyatlar prioritetin azalan ardıcıllığı ilə aşağıdakı kimi təşkil edilir: inkar, birləşmə, ayrılıq . Bundan əlavə, əməliyyatların yerinə yetirilmə ardıcıllığına məntiqi düsturlarda istifadə oluna bilən mötərizələr təsir edir.

Məsələn: (A & B) v (¬ A & B) v (¬ A & ¬ B).

Misal. Məntiqi formulun dəyərini hesablayın:

¬ X & Y v X və Z,

boolean dəyişənləri aşağıdakı dəyərlərə malikdirsə: X= YANLIŞ, Y= DOĞRU, Z= DOĞRU.

Həll. Düsturdakı əməliyyatların ardıcıllığını yuxarıdan rəqəmlərlə qeyd edirik:

Həqiqət cədvəlindən istifadə edərək düsturu addımlarla hesablayırıq:

1) FALSE = DOĞRU; 2) TRUE & TRUE = TRUE; 3) FALSE & TRUE = FALSE; 4) TRUE v FALSE = DOĞRU. Cavab: DOĞRU.

Bir sıra ədədi dəyərlərdə Boolean funksiyaları

Rəqəmlərin cəbri məntiq cəbri ilə cəbri ifadələrin qiymətlərinin müəyyən çoxluğa aid olub-olmadığını yoxlamaq lazım olduğu hallarda kəsişir. Məsələn, X ədədi dəyişəninin qiymətinin müsbət ədədlər çoxluğuna aid olması ilə ifadə edilir. bəyanat: "X sıfırdan böyükdür." Simvolik olaraq bu aşağıdakı kimi yazılır: X > 0. Cəbrdə belə ifadə bərabərsizlik adlanır. Məntiqdə, münasibətdə.

X > 0 əlaqəsi doğru və ya yanlış ola bilər. X müsbətdirsə, doğrudur, mənfidirsə, yanlışdır. Ümumiyyətlə, əlaqə aşağıdakı quruluşa malikdir:

< выражение 1 > < знак отношения > < выражение 2 >

Burada 1 və 2 ifadələri ədədi qiymət alan bəzi riyazi ifadələrdir. Müəyyən bir vəziyyətdə ifadə bir sabit və ya bir dəyişən ola bilər. Əlaqələrin əlamətləri aşağıdakı kimi ola bilər:

Deməli, münasibət sadə ifadədir və buna görə də məntiqi dəyərdir. O, ya sabit ola bilər: 5 > 0 - həmişə DOĞRU, 3 * 6: 2 - həmişə YANLIŞ; və dəyişən: a< b, х + 1 = с - d. Если в отношение входят переменные числовые величины, то и значение отношения будет логической переменной.

Nisbətə ədədi arqumentlərin məntiqi funksiyası kimi baxmaq olar. Məsələn: F(x) = (x > 0) və ya P(x, y) = = (x< у). Аргументы определены на бесконечном множестве действительных чисел, а значения функции - на множестве, состоящем из двух логических величин: ИСТИНА, ЛОЖЬ.

Rəqəmsal arqumentlərin Boolean funksiyaları da termin adlanır predikat. Alqoritmlərdə budaqların və döngələrin qurulması şərtləri rolunu predikatlar oynayır. Predikatlar ya məntiqi əməliyyatları ehtiva etməyən sadə məntiqi funksiyalar, ya da məntiqi əməliyyatları ehtiva edən mürəkkəb funksiyalar ola bilər.

Misal 1 X və Y koordinatları olan koordinat müstəvisindəki nöqtə başlanğıcda mərkəzləşmiş vahid dairənin daxilində olarsa, DOĞRU qiymətini qəbul edəcək iki real X və Y arqumentindən predikat (məntiqi funksiya) yazın (şək. 3.12).

Həndəsi mülahizələrdən aydın olur ki, vahid çevrənin daxilində yerləşən bütün nöqtələr üçün aşağıdakı məntiqi funksiyanın qiyməti doğru olacaqdır:

F (X, Y) \u003d (X 2 + Y 2< 1).

Dairə üzərində və ondan kənarda yerləşən nöqtələrin koordinat qiymətləri üçün F funksiyasının dəyəri yanlış olacaqdır.

Misal 2 Koordinat müstəvisində X və Y koordinatları olan nöqtə başlanğıcda mərkəzləşmiş və R1 və R2 radiuslu halqanın içərisindədirsə, DOĞRU olaraq qiymətləndirəcək predikat yazın.

R1 və R2 dəyərləri dəyişənlər olduğundan, istədiyiniz məntiqi funksiyanın dörd arqumenti olacaq: X, Y, R1, R2. İki vəziyyət mümkündür:

1) R1 2< X 2 + У 2 < R2 2 и R1 < R2: R1 - внутренний радиус, R2 - внешний радиус;

2) R2 2< X 2 + У 2 < R1 2 и R2 < R1: R2 - внутренний радиус, R1 - внешний радиус.

Bu ifadələrin hər ikisini disjunksiya yolu ilə birləşdirib məntiq cəbrinin qaydalarına uyğun yazaraq aşağıdakı məntiqi funksiyanı əldə edirik:

F(X, Y, R1, R2) = (((X 2 + Y 2) > R1 2) & ((X 2 + Y 2)< R2 2) & R1 < R2) v (((X 2 + У 2) >R2 2) & ((X 2 + Y 2)< R1 2) & R2 < R1).

Misal 3 X və Y koordinatları olan koordinat müstəvisindəki nöqtə Şəkil 1-də qalın xətlərlə hüdudlanmış fiqurun içərisində olarsa, DOĞRU dəyərini qəbul edəcək predikat yazın. 3.13.

Şəkil tənliklərlə təsvir olunan üç sərhədlə məhdudlaşır:

Y \u003d -X - sol sərhəd, xətti funksiya;

Y \u003d 1 - yuxarı hədd, sabit;

Y \u003d X 2 - sağ sərhəd, parabola.

Baxılan sahə bərabərsizliklərlə təsvir olunan üç yarımmüstəvilərin kəsişməsidir:

Daxili nöqtələrdə bu üç əlaqənin hamısı eyni zamanda doğrudur. Beləliklə, istədiyiniz predikatın forması var:

F(X, Y) = (Y > -X) & (Y< 1) & (У >X 2).

Paskalda Boolean ifadələri

Paskalın məntiqi verilənlər tipinə malik olduğu artıq deyilmişdir.

Boolean sabitləri: doğru(doğru), yalan(Yalan).

Boolean dəyişənləri: növü ilə təsvir edilmişdir Boolean.

Əlaqə əməliyyatları: iki operandın müqayisəsi və onlar arasında müvafiq əlaqənin doğru və ya yalan olduğunu müəyyən etmək. Əlaqəli əməliyyat işarələri: = (bərabər),<>(bərabər deyil), > (çox),< (меньше), >= (böyük və ya bərabər),<= (меньше или равно).

Boolean əməliyyatları: yox- inkar, və- məntiqi vurma (bağlama), və ya- məntiqi əlavə (ayrılma), xor- eksklüziv OR. Bu əməliyyatlar üçün həqiqət cədvəli (T - doğru; F- yalan):

boolean ifadəsi məntiqi sabitlərdən və dəyişənlərdən, əlaqələrdən, məntiqi əməliyyatlardan ibarət ola bilər. Boolean ifadəsi doğru və ya yanlış olaraq qiymətləndirilir.

Məsələn, Paskalda ¬ X & Y v X & Z məntiqi düsturu aşağıdakı məntiqi ifadə kimi yazılır:

yox X və Y və ya X və Z,

harada X, Y, Z- tipli dəyişənlər Boolean.

Məntiqi əməliyyatlar üstünlük (prioritet) üzrə aşağıdakı azalan ardıcıllıqla düzülür: 1) yox, 2) və, 3) və ya, xor. Əlaqəli əməliyyatlar ən aşağı üstünlüyə malikdir. Odur ki, məntiqi əməliyyatın operandları əlaqələrdirsə, onda onlar mötərizə içərisində olmalıdır. Məsələn, 1 ≤ X ≤ 50 riyazi bərabərsizliyi aşağıdakı məntiqi ifadəyə uyğundur:

(1 <= Х) və(X<= 50)

Boolean funksiyası tək(x) dəyərini alır doğruəgər tam arqumentin dəyəri X qəribədir, əks halda yalan.

Mürəkkəb məntiqi ifadənin (predikatın) düzgün qeydi üçün hesab, məntiq və əlaqə əməliyyatlarının nisbi prioritetlərini nəzərə almaq lazımdır, çünki onların hamısı məntiqi ifadədə mövcud ola bilər. Prioritetin azalan ardıcıllığında əməliyyatlar aşağıdakı ardıcıllıqla sıralanır.

1. Arifmetik əməllər: - (mənfi birlik) *, / +, - 2. Məntiqi əməllər: yox və və ya, xor 3. Əlaqə əməliyyatları: =,<>, >, <, >=, <=

Bir daha diqqət yetirin ki, 3-cü misaldakı predikata uyğun gələn boolean ifadədə:

(Y > -X) və(Y< 1) və(Y>X*X),

əlaqə əməliyyatları mötərizədə verilir, çünki onlar məntiqi əməliyyatlardan daha gəncdir və əvvəllər yerinə yetirilməlidir.

Suallar və tapşırıqlar

1. Ədədlər arasında nisbət (bərabərsizlik) hesablanarkən hansı növ qiymət alınır?

2. Predikat nədir? Nümunələr verin.

3. Aşağıdakı ifadələr doğru olarsa DOĞRU, əks halda YANLIŞ olacaq məntiqi cəbr funksiyalarını məntiq cəbrinin dilində yazın:

A) bütün ədədlər X, Y, Z bir-birinə bərabərdir; b) rəqəmlərdən kənar X, Y, Z yalnız ikisi bərabərdir; c) nömrələrin hər biri X, Y, Z müsbət; d) rəqəmlərdən yalnız biri X, Y, Z müsbət; e) rəqəmlərin mənası X, Y, Z artan qaydada sıralanır.

4. Əvvəlki məsələnin həllində alınan bütün düsturları Paskal dilində məntiqi ifadələr kimi yazın.

5. Məntiqi düstur üçün həqiqət cədvəli qurun:

¬X və Y v X və Z.

İzahat: həqiqət cədvəlində məntiqi dəyişənlərin dəyərlərinin bütün variantları üçün düsturun dəyərləri hesablanmalıdır: X, Y, Z. Buna görə də, cədvəldə 2 3 = 8 sətir və 4 sütun olacaq: dəyərlər X, Y, Z və nəticə. Aralıq əməliyyatların nəticələrini ehtiva edən cədvələ əlavə sütunlar əlavə edilə bilər.

6. Paskalda yazılmış aşağıdakı məntiqi ifadələrin qiymətlərini hesablayın:

İzahlar: tək(x)- arqumentin paritetini təyin etmək üçün məntiqi funksiya, bərabərdir doğru, əgər x təkdirsə və bərabərdirsə yalan x cütdürsə; trunc(x) modulda x-dən çox olmayan ən yaxın tam ədədi qaytaran real arqumentin tam funksiyasıdır.

Filial proqramlaşdırması

Bəyanat (hökm) bir şeyin təsdiq və ya inkar edildiyi elanedici bir cümlədir. İstənilən ifadənin doğru və ya yalan olduğunu söyləmək olar.

Məntiqi dəyərlər: sözlə ifadə olunan anlayışlar: DOĞRU (doğru), YANLIŞ (yanlış).

Boolean sabiti: DOĞRU (doğru), YANLIŞ (yanlış).

Boolean dəyişəni: Simvol olaraq işarələnmiş məntiqi dəyər. Buna görə də, A, B, X, Y və s.-nin məntiqi qiymətlər olduğu məlumdursa, bu o deməkdir ki, onlar yalnız TRUE və ya FALSE dəyərlərini qəbul edə bilərlər.

Boolean ifadəsi: sadə və ya mürəkkəb ifadə. Mürəkkəb ifadələr sadələrdən məntiqi əməliyyatların (əlaqələrin) köməyi ilə qurulur.

Boolean əməliyyatları

Bağlayıcı (məntiqi vurma). Rus dilində onu birlik İ ifadə edir.

Riyazi məntiqdə & işarələrindən istifadə olunur.Birləşmə A ^ B (A, B operandlardır) kimi yazılmış iki yerli əməliyyatdır. Operandlardan ən azı biri yalan olarsa, belə bir ifadənin dəyəri FALSE olacaqdır.

Diszyunksiya (məntiqi əlavə). Rus dilində OR ittifaqı ilə ifadə edilir.

Riyazi məntiqdə işarələrdən istifadə olunur.Diyunksiya iki yerli əməliyyatdır, AB kimi yazılır. Operandlardan ən azı biri doğru olarsa, belə ifadənin dəyəri TRUE olacaqdır.

İnkar. Rus dilində, birlik tərəfindən ifadə edilir DEYİL (bəzi ifadələrdə dövriyyədən istifadə olunur - bu doğru deyil ...).

Riyazi məntiqdə işarələrdən istifadə olunur.İnkar tək (unar) əməliyyatdır, A və ya kimi yazılır.

Məntiqi düstur (məntiqi ifadə) - yalnız məntiqi dəyərləri və məntiqi əməliyyatların əlamətlərini ehtiva edən düstur. Məntiqi formulun qiymətləndirilməsinin nəticəsi DOĞRU və ya YANLIŞ-dır. Məntiqi düsturlarda TRUE çox vaxt 1, FALSE isə 0 kimi göstərilir.

Məntiqi əməliyyatların yerinə yetirilməsi qaydaları həqiqət cədvəlində öz əksini tapmışdır.

həqiqət cədvəli

Məntiqi düsturlarda məntiqi əməliyyatların yerinə yetirilməsi ardıcıllığı əməliyyatların üstünlüyü ilə müəyyən edilir. Ən qədim əməliyyat inkardır (başqalarından əvvəl yerinə yetirilir), sonra birləşmə (və), daha sonra disjunksiya (və ya) gəlir.

Məntiq

Məntiqi diaqramlar məntiqi ifadələri təmsil etmək üçün əlverişli üsuldur. Bu cür diaqramlarda üç əsas məntiqi əməliyyatın necə təsvir edildiyi buradadır.

Bu cədvəl aşağıdakı qeydlərdən istifadə edir:

1 - doğru, 0 - yanlış və ya, yox - məntiqi əməliyyatlar.

Misal 1: 1 və ya 0 və 1 məntiqi ifadəsi üçün diaqram çəkin. Sonra məntiqi ifadənin qiymətini hesablayın.

Həlli: Sxem - Hesablama:

Misal 2: Məntiqi diaqram verilmişdir. Boolean ifadəsi yaradın. Sonra boolean ifadəsinin dəyərini qiymətləndirin.

Həlli: sxem verilmişdir -

Düsturu tərtib edin - (1 və ya 0) və 1. 1 və ya 0 = 1 sxeminə görə dəyəri hesablayın,

onda 1 və 1 = 1. Beləliklə (1 və ya 0) və 1 = 1.

Məntiqi məlumat və məntiqin əsasları