Linjär funktion. Linjär funktion och dess graf Y 2 3 Linjär funktionsgraflinje

Definition av en linjär funktion

Låt oss introducera definitionen av en linjär funktion

Definition

En funktion av formen $ y = kx + b $, där $ k $ är icke-noll, kallas en linjär funktion.

Linjär funktionsgraf - rak linje. Talet $ k $ kallas linjens lutning.

För $ b = 0 $ kallas den linjära funktionen för den direkta proportionalitetsfunktionen $ y = kx $.

Tänk på figur 1.

Ris. 1. Den geometriska betydelsen av lutningen på en rät linje

Betrakta en triangel ABC. Vi ser att $ ВС = kx_0 + b $. Hitta skärningspunkten för den räta linjen $ y = kx + b $ med axeln $ Ox $:

\ \

Därför $ AC = x_0 + \ frac (b) (k) $. Låt oss ta reda på förhållandet mellan dessa partier:

\ [\ frac (BC) (AC) = \ frac (kx_0 + b) (x_0 + \ frac (b) (k)) = \ frac (k (kx_0 + b)) ((kx) _0 + b) = k \]

Å andra sidan, $ \ frac (BC) (AC) = tg \ vinkel A $.

Följande slutsats kan alltså dras:

Produktion

Geometrisk betydelse av koefficienten $ k $. Lutningen på den räta linjen $ k $ är lika med tangenten för lutningsvinkeln för denna räta linje mot axeln $ Ox $.

Undersökning av den linjära funktionen $ f \ vänster (x \ höger) = kx + b $ och dess graf

Tänk först på funktionen $ f \ vänster (x \ höger) = kx + b $, där $ k> 0 $.

1. $ f "\ vänster (x \ höger) = (\ vänster (kx + b \ höger))" = k> 0 $. Följaktligen ökar denna funktion över hela definitionsdomänen. Det finns inga extrema punkter.
2. $ (\ mathop (lim) _ (x \ till - \ infty) kx \) = - \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ till + \ infty) kx \) = + \ infty $
3. Graf (fig. 2).

Ris. 2. Grafer för funktionen $ y = kx + b $, för $ k> 0 $.

Betrakta nu funktionen $ f \ vänster (x \ höger) = kx $, där $ k

1. Omfattningen är alla siffror.
2. Området är alla siffror.
3. $ f \ vänster (-x \ höger) = - kx + b $. Funktionen är varken jämn eller udda.
4. För $ x = 0, f \ vänster (0 \ höger) = b $. För $ y = 0,0 = kx + b, \ x = - \ frac (b) (k) $.

Skärningspunkter med koordinataxlar: $ \ vänster (- \ frac (b) (k), 0 \ höger) $ och $ \ vänster (0, \ b \ höger) $

1. $ f "\ vänster (x \ höger) = (\ vänster (kx \ höger))" = k
2. $ f ^ ("") \ vänster (x \ höger) = k "= 0 $. Funktionen har därför inga böjningspunkter.
3. $ (\ mathop (lim) _ (x \ till - \ infty) kx \) = + \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ till + \ infty) kx \) = - \ infty $
4. Graf (fig. 3).

En linjär funktion är en funktion av formen y = kx + b, där x är en oberoende variabel, k och b är valfria tal.
Grafen för en linjär funktion är en rät linje.

1. För att rita en funktionsgraf, vi behöver koordinaterna för två punkter som hör till funktionens graf. För att hitta dem måste du ta två värden på x, ersätta dem i funktionens ekvation och från dem beräkna motsvarande värden på y.

Till exempel, för att plotta funktionen y = x + 2, är det bekvämt att ta x = 0 och x = 3, då kommer ordinaterna för dessa punkter att vara lika med y = 2 och y = 3. Vi får punkterna A (0; 2) och B (3; 3). Vi kopplar ihop dem och får grafen för funktionen y = x + 2:

2. I formeln y = kx + b kallas talet k för proportionalitetskoefficienten:
om k> 0, så ökar funktionen y = kx + b
om k
Koefficienten b visar funktionsgrafens förskjutning längs OY-axeln:
om b> 0, så erhålls grafen för funktionen y = kx + b från grafen för funktionen y = kx genom att flytta b enheter upp längs OY-axeln
om b
Figuren nedan visar graferna för funktionerna y = 2x + 3; y = ½ x + 3; y = x + 3

Observera att koefficienten k i alla dessa funktioner Över noll, och funktioner är ökande. Dessutom, ju större värdet på k är, desto större lutningsvinkel för den räta linjen mot den positiva riktningen av OX-axeln.

I alla funktioner b = 3 - och vi ser att alla grafer skär OY-axeln i punkten (0; 3)

Betrakta nu graferna för funktionerna y = -2x + 3; y = - ½ x + 3; y = -x + 3

Denna gång, i alla funktioner, koefficienten k mindre än noll, och funktioner minska. Koefficient b = 3, och graferna, som i föregående fall, skär OY-axeln i punkten (0; 3)

Betrakta graferna för funktionerna y = 2x + 3; y = 2x; y = 2x-3

Nu i alla funktionsekvationer är koefficienterna k lika med 2. Och vi fick tre parallella räta linjer.

Men b-koefficienterna är olika, och dessa grafer skär OY-axeln vid olika punkter:
Grafen för funktionen y = 2x + 3 (b = 3) skär OY-axeln i punkten (0; 3)
Grafen för funktionen y = 2x (b = 0) skär OY-axeln i punkten (0; 0) - origo.
Grafen för funktionen y = 2x-3 (b = -3) korsar OY-axeln i punkten (0; -3)

Så, om vi känner till tecknen för koefficienterna k och b, så kan vi omedelbart föreställa oss hur grafen för funktionen y = kx + b ser ut.
Om k 0

Om k> 0 och b> 0, då har grafen för funktionen y = kx + b formen:

Om k> 0 och b, då har grafen för funktionen y = kx + b formen:

Om k, då har grafen för funktionen y = kx + b formen:

Om k = 0, då förvandlas funktionen y = kx + b till funktionen y = b och dess graf ser ut så här:

Ordinaterna för alla punkter i grafen för funktionen y = b är lika med b If b = 0, då går grafen för funktionen y = kx (direkt proportionalitet) genom origo:

3. Separat noterar vi grafen för ekvationen x = a. Grafen för denna ekvation är en rät linje parallell med OY-axeln, vars alla punkter har en abskiss x = a.

Till exempel ser grafen för ekvationen x = 3 ut så här:
Uppmärksamhet! Ekvationen x = a är inte en funktion, eftersom ett värde i argumentet motsvarar olika värden på funktionen, vilket inte motsvarar definitionen av funktionen.

4. Villkoret för parallelliteten mellan två linjer:

Grafen för funktionen y = k 1 x + b 1 är parallell med grafen för funktionen y = k 2 x + b 2, om k 1 = k 2

5. Villkoret för vinkelrätheten hos två räta linjer:

Grafen för funktionen y = k 1 x + b 1 är vinkelrät mot grafen för funktionen y = k 2 x + b 2 om k 1 * k 2 = -1 eller k 1 = -1 / k 2

6. Skärningspunkter för grafen för funktionen y = kx + b med koordinataxlarna.

Med OY-axeln. Abskissan för varje punkt som hör till OY-axeln är noll. Därför, för att hitta skärningspunkten med OY-axeln, måste du ersätta noll i funktionens ekvation istället för x. Vi får y = b. Det vill säga skärningspunkten med OY-axeln har koordinater (0; b).

Med OX-axel: Ordinatan för en punkt som hör till OX-axeln är noll. För att hitta skärningspunkten med OX-axeln måste du därför ersätta noll i funktionens ekvation istället för y. Vi får 0 = kx + b. Därför x = -b / k. Det vill säga skärningspunkten med OX-axeln har koordinater (-b / k; 0):

Linjär funktion kallas en funktion av formen y = kx + b ges på mängden av alla reella tal. Här k- lutning (reellt tal), b – fri sikt (verklig), xÄr den oberoende variabeln.

I ett särskilt fall, om k = 0, får vi en konstant funktion y = b, vars graf är en rät linje parallell med Ox-axeln och som går genom en punkt med koordinater (0; b).

Om b = 0, då får vi funktionen y = kx, vilket är direkt proportionalitet.

b – segmentets längd, som är avskuren av linjen längs Oy-axeln, räknat från origo.

Koefficientens geometriska betydelse k – lutningsvinkel en rak linje till Ox-axelns positiva riktning, räknas moturs.

Linjära funktionsegenskaper:

1) En linjär funktions domän är hela den reella axeln;

2) Om k ≠ 0, då är värdeintervallet för den linjära funktionen hela den reella axeln. Om k = 0, då består värdeintervallet för den linjära funktionen av talet b;

3) Jämnhet och uddahet för en linjär funktion beror på koefficienternas värden k och b.

a) b ≠ 0, k = 0, därav, y = b - jämn;

b) b = 0, k ≠ 0, därav y = kx - udda;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, därav y = kx + b är en allmän funktion;

d) b = 0, k = 0, därav y = 0 - både jämn och udda funktion.

4) Den linjära funktionen har inte periodicitetsegenskapen;

5) Skärningspunkter med koordinataxlar:

Oxe: y = kx + b = 0, x = -b/k, därav (-b/k; 0)- skärningspunkten med abskissaxeln.

Oj: y = 0k + b = b, därav (0; b)- skärningspunkten med ordinataaxeln.

Obs: Om b = 0 och k = 0, sedan funktionen y = 0 försvinner för valfritt värde på variabeln NS... Om b ≠ 0 och k = 0, sedan funktionen y = b försvinner inte för något värde av variabeln NS.

6) Intervallet för konstant tecken beror på koefficienten k.

a) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.

y = kx + b- är positiv till x från (-b / k; + ∞),

y = kx + b- är negativ till x från (-∞; -b / k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- är positiv till x från (-∞; -b / k),

y = kx + b- är negativ till x från (-b / k; + ∞).

c) k = 0, b> 0; y = kx + bär positiv över hela definitionsområdet,

k = 0, b< 0; y = kx + b är negativ över hela domänen.

7) Monotonicitetsintervallen för den linjära funktionen beror på koefficienten k.

k> 0, därav y = kx + bökar över hela definitionsområdet,

k< 0 , därav y = kx + b minskar över hela definitionsområdet.

8) Grafen för en linjär funktion är en rät linje. För att bygga en rak linje räcker det att känna till två punkter. Placeringen av den räta linjen på koordinatplanet beror på koefficienternas värden k och b... Nedan finns en tabell som tydligt illustrerar detta.