I så fall är sanningsbordet byggt. Företräde för logiska operationer

Alla tips

Konstruktion av sanningstabeller för komplexa påståenden.

Företräde för logiska operationer

1) inversion 2) konjunktion 3) disjunktion 4) implikation och ekvivalens

Hur gör man en sanningstabell?

Enligt definitionen uttrycker sanningstabellen för en logisk formel överensstämmelsen mellan alla möjliga uppsättningar av variabelvärden och formelns värden.

För en formel som innehåller två variabler finns det bara fyra sådana uppsättningar av variabelvärden:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Om formeln innehåller tre variabler finns det åtta möjliga uppsättningar av variabelvärden (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Antalet uppsättningar för en formel med fyra variabler är sexton, och så vidare.

En bekväm form av notation för att hitta värdena för en formel är en tabell som innehåller, förutom värdena för variabler och formelvärden, även värden för mellanformler.

Exempel.

1. Låt oss göra en sanningstabell för formeln 96%" style="width:96.0%">

Det framgår av tabellen att för alla uppsättningar värden för variablerna x och y tar formeln värdet 1, det vill säga identiskt sant.

2. Sanningstabell för formel 96%" style="width:96.0%">

Det framgår av tabellen att för alla uppsättningar värden för variablerna x och y, formeln tar värdet 0, det vill säga identiskt falskt .

3. Sanningstabell för formel 96%" style="width:96.0%">

Det framgår av tabellen att formel 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Slutsats: vi fick alla ettor i den sista kolumnen. Det betyder att innebörden av det sammansatta påståendet är sant för alla värden av de enkla påståendena K och C. Följaktligen resonerade läraren logiskt korrekt.

Absolut alla digitala mikrokretsar består av samma logiska element - "byggstenarna" i vilken digital nod som helst. Det är vad vi ska prata om nu.

Logiskt element– Det här är en krets som har flera ingångar och en utgång. Varje tillstånd för signalerna vid ingångarna motsvarar en viss signal vid utgången.

Så vilka är elementen?

Element "Och" (AND)

Annars kallas det "konjunktor".

För att förstå hur det fungerar måste du rita en tabell som listar utgångstillstånden för valfri kombination av insignaler. Ett sådant bord kallas sanningstabell". Sanningstabeller används i stor utsträckning inom digital teknik för att beskriva driften av logiska kretsar.

Så här ser AND-elementet och dess sanningstabell ut:

Eftersom du kommer att behöva kommunicera med både rysk och borgerlig teknik. dokumentation kommer jag att ge villkorade grafiska symboler (UGO) av element både enligt våra och inte våra standarder.

Vi tittar på sanningstabellen och klargör principen i hjärnan. Det är inte svårt att förstå det: en enhet vid utgången av "AND"-elementet uppstår endast när enheter appliceras på båda ingångarna. Detta förklarar namnet på elementet: enheter måste vara AND på den ena OCH på den andra ingången.

Om du ser lite annorlunda ut kan du säga så här: utsignalen från "AND" -elementet kommer att vara noll om minst en av dess ingångar är noll. Vi kommer ihåg. Varsågod.

OR-element (OR)

Med andra ord, hans namn är "disjunctor".

Vi beundrar:

Återigen, namnet talar för sig självt.

En enhet visas vid utgången när en enhet appliceras på en ELLER till en annan ELLER till båda ingångarna samtidigt. Detta element kan också kallas "OCH"-elementet för negativ logik: dess utdata är noll endast om nollor appliceras på en och den andra ingången.

Element "NOT" (NOT)

Oftare kallas det "inverter".

Behöver du säga något om hans arbete?

NAND-element (NAND)

NAND-elementet fungerar exakt likadant som AND, bara utsignalen är helt motsatt. Där "AND"-elementet ska ha "0" vid utgången, har "AND-NOT"-elementet en enhet. Och vice versa. Detta är lätt att förstå av elementets ekvivalenta krets:

OR-NOT (NOR) element

Samma historia - "ELLER"-elementet med en växelriktare vid utgången.

Nästa kamrat är något listigare:
Exklusivt ELLER (XOR) element

Han är så här:

Operationen den utför kallas ofta för "modulo 2 addition". Faktum är att digitala adders bygger på dessa element.

Låt oss titta på sanningstabellen. När är enhetens utgång? Det stämmer: när ingångarna är olika signaler. På den ena - 1, på den andra - 0. Så listig är han.

Motsvarande krets är ungefär så här:

Det är inte nödvändigt att memorera det.

Egentligen är dessa de viktigaste logiska elementen. Absolut alla digitala mikrokretsar är byggda på deras bas. Även din favorit Pentium 4.

Och slutligen - några mikrokretsar, som innehåller digitala element. Nära elementens stift indikeras numren på motsvarande ben på mikrokretsen. Alla IC som listas här har 14 ben. Ström tillförs stift 7 (-) och 14 (+). Matningsspänning - se tabellen i föregående stycke.

En sanningstabell är en tabell som beskriver en logisk funktion. En logisk funktion här är en funktion där variablernas värden och värdet på själva funktionen uttrycker sant. Till exempel tar de värdena "true" eller "false" (true or false, 1 eller 0).

Sanningstabeller används för att bestämma värdet av en proposition för alla möjliga fall av sanningsvärden för de propositioner som utgör den. Antalet av alla befintliga kombinationer i tabellen hittas av formeln N=2*n; där N är det totala antalet möjliga kombinationer, n är antalet indatavariabler. Sanningstabeller används ofta inom digital teknik och boolesk algebra för att beskriva driften av logiska kretsar.

Sanningstabeller för grundläggande funktioner

Exempel: konjunktion - 1&0=0, implikation - 1→0=0.

Ordning för utförande av logiska operationer

Inversion; Samband; Åtskiljande; inblandning; Likvärdighet; Schaeffers stroke; Pierce Arrow.

Konstruktionssekvensen (sammanställningen) av sanningstabellen:

Bestäm antalet N variabler som används i ett booleskt uttryck.
Beräkna antalet möjliga uppsättningar av variabelvärden M = 2 N lika med antalet rader i tabellen.
Räkna antalet logiska operationer i ett logiskt uttryck och bestäm antalet kolumner i tabellen, vilket är lika med antalet variabler plus antalet logiska operationer.
Inled kolumnerna i tabellen med namnen på variabler och namnen på logiska operationer.
Fyll kolumner med booleska variabler med uppsättningar värden, till exempel från 0000 till 1111 i steg om 0001 i fallet med fyra variabler.
Fyll i sanningstabellen efter kolumner med värdena för mellanliggande operationer från vänster till höger.
Fyll i den sista kolumnen med värden för funktion F.

Således kan du själv sammanställa (bygga) en sanningstabell.

Gör en sanningstabell online

Fyll i inmatningsfältet och klicka på OK. T - sant, F - falskt. Vi rekommenderar att du bokmärker sidan eller sparar den i ett socialt nätverk.

Notation

Uppsättningar eller uttryck med versaler i det latinska alfabetet: A, B, C, D...
A" - stroke - komplement till set
&& - konjunktion ("och")
|| - disjunktion ("eller")
! - negation (till exempel !A)
\cap - sätt skärningspunkt \cap
\cup - förening av uppsättningar (tillägg) \cup
A&!B - inställningsdifferens A∖B=A-B
A=>B - implikation "Om...då"
AB - likvärdighet

Definition 1

boolesk funktionär en funktion vars variabler har ett av två värden: $1$ eller $0$.

Vilken logisk funktion som helst kan specificeras med hjälp av en sanningstabell: uppsättningen av alla möjliga argument skrivs på vänster sida av tabellen, och motsvarande värden för den logiska funktionen finns på höger sida.

Definition 2

sanningstabell- en tabell som visar vilka värden ett sammansatt uttryck kommer att ta för alla möjliga uppsättningar värden av enkla uttryck som ingår i det.

Definition 3

Likvärdig kallas logiska uttryck, vars sista kolumner i sanningstabellerna sammanfaller. Ekvivalens indikeras av tecknet $"="$.

När du sammanställer en sanningstabell är det viktigt att överväga följande ordning för exekvering av logiska operationer:

Bild 1.

Parentes har företräde i exekveringsordningen för operationer.

Algoritm för att konstruera sanningstabellen för en logisk funktion

Bestäm antalet rader: antal rader= $2^n + 1$ (för titelraden), $n$ är antalet enkla uttryck. Till exempel, för funktioner av två variabler finns $2^2 = 4$ kombinationer av uppsättningar av variabelvärden, för funktioner av tre variabler finns $2^3 = 8$, och så vidare.

Bestäm antalet kolumner: antal kolumner = antal variabler + antal logiska operationer. Vid bestämning av antalet logiska operationer beaktas också ordningen för deras utförande.

Fyll kolumner med resultaten av att utföra logiska operationer i en viss sekvens, med hänsyn till sanningstabellerna för de grundläggande logiska operationerna.

Figur 2.

Exempel 1

Gör en sanningstabell av det logiska uttrycket $D=\bar(A) \vee (B \vee C)$.

Lösning:

Låt oss bestämma antalet rader:

antal rader = $2^3 + 1=9$.

Antalet variabler är $3$.

invertera ($\bar(A)$);
disjunktion, eftersom det står inom parentes ($B \vee C$);
disjunktion ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) är det logiska uttrycket som krävs.

Antal kolumner = $3 + 3=6$.

Låt oss fylla i tabellen, med hänsyn till sanningstabellerna för logiska operationer.

Figur 3

Exempel 2

Baserat på det givna logiska uttrycket, konstruera en sanningstabell:

Lösning:

Låt oss bestämma antalet rader:

Antalet enkla uttryck är $n=3$, alltså

antal rader = $2^3 + 1=9$.

Låt oss definiera antalet kolumner:

Antalet variabler är $3$.

Antalet logiska operationer och deras sekvens:

negation ($\bar(C)$);
disjunktion, eftersom det står inom parentes ($A \vee B$);
konjunktion ($(A\vee B)\bigwedge \overline(C)$);
negation, som vi betecknar med $F_1$ ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))$);
disjunktion ($A \vee C$);
konjunktion ($(A\vee C)\bigwedge B$);
negation, som vi betecknar med $F_2$ ($\overline((A\vee C)\bigwedge B)$);
disjunktion är den önskade logiska funktionen ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$).

Idag ska vi prata om ett ämne som kallas datavetenskap. Sanningstabellen, typerna av funktioner, i vilken ordning de utförs är våra huvudfrågor, som vi kommer att försöka hitta svar på i artikeln.

Vanligtvis lärs denna kurs ut på gymnasiet, men ett stort antal elever är orsaken till missförstånd av vissa funktioner. Och om du ska ägna ditt liv åt detta, kan du helt enkelt inte klara dig utan att klara det enhetliga provet i datavetenskap. Sanningstabellen, omvandlingen av komplexa uttryck, lösningen av logiska problem - allt detta kan hittas i en biljett. Nu kommer vi att överväga detta ämne mer detaljerat och hjälpa dig att få fler poäng på provet.

Ämne för logik

Vilken typ av ämne är informatik? Sanningstabell - hur bygger man det? Varför behöver vi vetenskapen om logik? Vi kommer nu att svara på alla dessa frågor.

Datavetenskap är ett ganska fascinerande ämne. Det kan inte orsaka svårigheter för det moderna samhället, eftersom allt som omger oss, på ett eller annat sätt, refererar till datorn.

Grunderna i vetenskapen om logik ges av gymnasielärare på lektioner i datavetenskap. Sanningstabeller, funktioner, förenkling av uttryck - allt detta bör förklaras av lärare i datavetenskap. Denna vetenskap är helt enkelt nödvändig i vårt liv. Ta en närmare titt, allt lyder någon form av lagar. Du kastade bollen, den flög upp, men efter det föll den tillbaka till marken, detta hände på grund av fysikens lagar och tyngdkraften. Mamma lagar soppa och saltar. Varför stöter vi inte på spannmål när vi äter det? Det är enkelt, saltet löst i vatten och följer kemins lagar.

Var nu uppmärksam på hur du pratar.

"Om jag tar med min katt till veterinärkliniken kommer han att vaccineras."
"Idag var en väldigt hård dag eftersom checken kom."
"Jag vill inte gå på universitetet eftersom det kommer att vara ett kollokvium idag," och så vidare.

Allt du säger måste följa logikens lagar. Detta gäller både affärsmässiga och vänliga samtal. Det är av denna anledning som det är nödvändigt att förstå logikens lagar för att inte agera slumpmässigt, utan för att vara säker på resultatet av händelser.

Funktioner

För att sammanställa en sanningstabell för det problem som föreslagits för dig måste du känna till de logiska funktionerna. Vad det är? Den booleska funktionen har några variabler som är påståenden (sant eller falskt), och värdet på själva funktionen bör ge oss svaret på frågan: "Är uttrycket sant eller falskt?".

Alla uttryck har följande värden:

Sant eller falskt.
Jag eller L.
1 eller 0.
Plus eller minus.

Här, ge företräde åt den metod som är mer bekväm för dig. För att göra en sanningstabell måste vi lista alla kombinationer av variabler. Deras antal beräknas med formeln: 2 i n potens. Resultatet av beräkningen är antalet möjliga kombinationer, variabeln n i denna formel är antalet variabler i villkoret. Om uttrycket har många variabler kan du använda en miniräknare eller göra en liten tabell för dig själv genom att höja två till en potens.

Totalt finns det sju funktioner eller relationer i logiken som kopplar samman uttryck:

Multiplikation (konjunktion).
Tillägg (disjunktion).
Konsekvens (implikation).
Likvärdighet.
Inversion.
Schaeffers stroke.
Pierce Arrow.

Den första operationen som presenteras i listan kallas "logisk multiplikation". Det kan markeras grafiskt som en inverterad bock, & eller *-tecken. Den andra operationen på vår lista är logisk tillägg, grafiskt indikerad med en bock, +. En implikation kallas en logisk konsekvens, betecknad med en pil som pekar från villkoret till konsekvensen. Ekvivalens indikeras av en dubbelsidig pil, funktionen är endast sann i de fall där båda värdena tar antingen värdet "1" eller "0". Inversion kallas logisk negation. Schaeffer-primtal kallas en funktion som förnekar konjunktion, och Pierce-pilen kallas en funktion som förnekar disjunktion.

Grundläggande binära funktioner

Den logiska sanningstabellen hjälper till att hitta svaret i problemet, men för detta måste du komma ihåg tabellerna med binära funktioner. I det här avsnittet kommer de att tillhandahållas.

Konjunktion (multiplikation). Om två så blir vi sanna, i alla andra fall blir vi falska.

Resultatet är falskt med logisk addition, vi har bara i fallet med två falska ingångar.

En logisk konsekvens är falsk endast när villkoret är sant och konsekvensen är falsk. Här kan du ge ett exempel från livet: "Jag ville köpa socker, men affären var stängd", därför köptes sockret aldrig.

Motsvarande gäller endast i de fall då värdena på indata är desamma. Det vill säga med par: "0; 0" eller "1; 1".

I fallet med inversion är allt elementärt, om det finns ett sant uttryck vid ingången konverteras det till falskt och vice versa. Bilden visar hur det visas grafiskt.

Schiffers streck kommer att få ett falskt resultat i utdata endast om det finns två sanna uttryck.

I fallet med Pierce-pilen kommer funktionen att vara sann endast om vi bara har falska uttryck vid ingången.

I vilken ordning att utföra logiska operationer

Observera att konstruktionen av sanningstabeller och förenklingen av uttryck endast är möjlig med korrekt ordningsföljd. Kom ihåg i vilken ordning de behöver utföras, detta är väldigt viktigt för att få rätt resultat.

logisk negation;
multiplikation;
tillägg;
Följd;
likvärdighet;
negation av multiplikation (Scheffers stroke);
negation av addition (Pierces pil).

Exempel #1

Nu föreslår vi att vi överväger ett exempel på att konstruera en sanningstabell för 4 variabler. Det är nödvändigt att ta reda på i vilka fall F \u003d 0 för ekvationen: inte A + B + C * D

Svaret på denna uppgift kommer att vara uppräkningen av följande kombinationer: "1;0;0;0", "1;0;0;1" och "1;0;1;0". Som du kan se är det ganska enkelt att göra en sanningstabell. Än en gång skulle jag vilja fästa er uppmärksamhet på handlingsordningen. I det här specifika fallet var det:

Inversion av det första enkla uttrycket.
Konjunktionen av det tredje och fjärde uttrycket.
Disjunktion av det andra uttrycket med resultaten av tidigare beräkningar.

Exempel #2

Nu ska vi överväga en annan uppgift som kräver konstruktionen av en sanningstabell. Informatik (exempel togs från en skolkurs) kan också ges som uppgift. Låt oss kort överväga en av dem. Är Vanya skyldig till att ha stulit bollen om följande är känt:

Om Vanya inte stal eller Petya gjorde det, deltog Seryozha i stölden.
Om Vanya inte är skyldig, så stal Seryozha inte bollen heller.

Låt oss introducera notationen: I - Vanya stal bollen; P - Petya stal; S - Seryozha stal.

Enligt detta villkor kan vi komponera en ekvation: F=((nonI+P) implikation C)*(nonI implikation nonC). Vi behöver de alternativ där funktionen har ett sant värde. Därefter måste du skapa en tabell, eftersom denna funktion har så många som 7 åtgärder, kommer vi att utelämna dem. Vi kommer endast att ange indata och resultatet.

Observera att i detta problem använde vi plus- och minustecken istället för tecknen "0" och "1". Detta är också acceptabelt. Vi är intresserade av kombinationer där F=+. Efter att ha analyserat dem kan vi dra följande slutsats: Vanya deltog i stölden av bollen, eftersom i alla fall där F tar värdet +, OCH har ett positivt värde.

Exempel #3

Nu föreslår vi att du hittar antalet kombinationer när F=1. Ekvationen är följande: F=inteA+B*A+inteB. Vi gör en sanningstabell:

Svar: 4 kombinationer.