Problemet med att fastställa sanningen i ett uttryck möter många vetenskaper. Varje bevisdisciplin måste förlita sig på vissa kriterier för bevisets giltighet. Vetenskapen som studerar dessa kriterier kallas logikens algebra. Huvudpostulatet för logikens algebra är att vilket mest utsmyckat påstående som helst kan representeras i form av ett algebraiskt uttryck från enklare påståenden, vars sanning eller falskhet är lätt att fastställa.

För varje "algebraisk" åtgärd på ett påstående sätts en regel för att fastställa sanningen eller falskheten i det ändrade påståendet, baserat på sanningen eller falskheten i det ursprungliga påståendet. Dessa regler är genomskrivna uttryck sanningstabeller... Innan du sammanställer sanningstabeller måste du bekanta dig med logikens algebra.

Algebraiska transformationer av logiska uttryck

Alla logiska uttryck, som dess variabler (påståenden), har två värden: falskt eller sant... Falskt indikeras med noll och sanning indikeras med ett. Efter att ha behandlat definitionsdomänen och domänen av giltiga värden, kan vi överväga logikens algebras handlingar.

Negation

Negation och inversion- den enklaste logiska transformationen. Det motsvarar partikeln "inte". Denna transformation vänder helt enkelt på uttalandet. Följaktligen är också innebörden av uttalandet omvänd. Om påstående A är sant, är "inte A" falskt. Till exempel är påståendet "en rät vinkel är en vinkel på nittio grader" sant. Då är hans negation "den räta vinkeln är inte lika med nittio grader" en lögn.

Sanningstabell för negation skulle vara så här:

Åtskiljande

Denna operation kan vara regelbunden eller strikt, deras resultat kommer att variera.

Vanlig disjunktion eller logisk addition matchar facket "eller". Det kommer att vara sant om minst ett av påståendena som ingår i det är sant. Till exempel kommer uttrycket "Jorden är rund eller står på tre valar" att vara sant, eftersom det första påståendet är sant, även om det andra är falskt. I tabellen kommer det att se ut så här:

Stark disjunktion eller modulo-addition kallas också "exklusiv eller"... Denna operation kan ta formen av den grammatiska konstruktionen "en av två saker: antingen ... eller ...". Här kommer värdet av ett logiskt uttryck att vara falskt om alla påståenden som ingår i det har samma sanning. Det vill säga, båda påståendena är antingen sanna tillsammans eller falska tillsammans.

Tabell över värden av exklusiva eller

Implikation och likvärdighet

Innebörden är Följd och kan grammatiskt uttryckas som "från A följer B". Här kommer påstående A att kallas en förutsättning och B - en konsekvens. Implikationen kan bara vara falsk i ett fall: om premissen är sann och konsekvensen är falsk. Det vill säga, en lögn kan inte följa av sanningen. I alla andra fall är implikationen sann. Alternativ när båda påståendena har samma sanning väcker inga frågor. Men varför är den korrekta konsekvensen av fel premiss sann? Poängen är att allt kan följa av en falsk premiss. Detta är vad som skiljer implikation från ekvivalens.

Inom matematik (och andra evidensbaserade discipliner) används implikation för att indikera ett nödvändigt villkor. Till exempel, påstående A - "punkt O är extremumet av en kontinuerlig funktion", påstående B - "derivatan av en kontinuerlig funktion vid punkt O försvinner." Om O verkligen är extrempunkten för en kontinuerlig funktion, kommer derivatan vid denna punkt verkligen att vara noll. Om O inte är en extrempunkt, kan derivatan vid denna punkt vara noll eller inte. Det vill säga B är nödvändigt för A, men inte tillräckligt.

Sanningstabell för implikation som följer:

Den logiska operationens ekvivalens är i huvudsak ömsesidig implikation... "A är ekvivalent med B" betyder att "från A följer B" och "från B följer A" samtidigt. Ekvivalens är sant när båda påståendena är antingen samtidigt sanna eller samtidigt falska.

I matematik används ekvivalens för att definiera ett nödvändigt och ett tillräckligt villkor. Till exempel påstående A - "Punkt O är ytterpunkten för en kontinuerlig funktion", påstående B - "Vid punkt O försvinner derivatan av funktionen och ändrar tecken." Dessa två uttalanden är likvärdiga. B innehåller ett nödvändigt och tillräckligt villkor för A. Observera att i detta exempel på påståenden är B faktiskt konjunktionen av två andra: "derivatan vid O försvinner" och "derivatan vid O ändrar tecken".

Andra logiska funktioner

Ovanstående diskuterade de grundläggande logiska operationerna som ofta används. Det finns andra funktioner som används:

• Schaeffers stroke eller inkompatibilitet är negationen av konjunktionen av A och B
• Pierces pil representerar ett disjunktionsnegationsfel.

Bygga sanningstabeller

För att bygga en sanningstabell för alla logiska uttryck måste du agera i enlighet med algoritmen:

1. Dela upp uttrycket i enkla påståenden och beteckna var och en som en variabel.
2. Definiera logiska transformationer.
3. Bestäm handlingsordningen för dessa transformationer.
4. Räkna raderna i framtidstabellen. Deras antal är lika med två i potensen av N, där N är antalet variabler, plus en rad för tabellens huvud.
5. Bestäm antalet kolumner. Det är lika med summan av antalet variabler och antalet åtgärder. Du kan representera resultatet av varje åtgärd som en ny variabel, om det är vettigt.
6. Rubriken fylls i sekventiellt, först alla variabler, sedan resultaten av åtgärder i den ordning de utförs.
7. Du bör börja fylla tabellen med den första variabeln. För det halveras antalet rader. Ena halvan är fylld med nollor, den andra halvan är fylld med ettor.
8. För varje efterföljande variabel alternerar nollor och ettor dubbelt så ofta.
9. Därmed fylls alla kolumner med variabler och för den sista variabeln ändras värdet i varje rad.
10. Sedan fylls resultatet av alla åtgärder i sekventiellt.

Som ett resultat kommer den sista kolumnen att visa värdet för hela uttrycket beroende på variablernas värde.

Separat ska det sägas om logisk ordning... Hur definierar man det? Här, som i algebra, finns det regler som bestämmer sekvensen av åtgärder. De utförs i följande ordning:

1. uttryck inom parentes;
2. negation eller inversion;
3. samband;
4. strikt och vanlig disjunktion;
5. inblandning;
6. likvärdighet.

Exempel på

För att konsolidera materialet kan man försöka sammanställa en sanningstabell för de tidigare nämnda logiska uttrycken. Låt oss titta på tre exempel:

• Schaeffers stroke.
• Pierces pil.
• Bestämning av likvärdighet.

Schaeffers stroke

Schaeffers stroke är ett logiskt uttryck som kan skrivas som "inte (A och B)". Det finns två variabler och två åtgärder. Konjunktionen inom parentes betyder att den exekveras först. Tabellen kommer att ha en rubrik och fyra rader med variabelvärden, samt fyra kolumner. Låt oss fylla i tabellen:

A	B	A och B	inte (A och B)
L	L	L	OCH
L	OCH	L	OCH
OCH	L	L	OCH
OCH	OCH	OCH	L

Negation av en konjunktion ser ut som en disjunktion av negation. Detta kan verifieras genom att sammanställa en sanningstabell för uttrycket "inte A eller inte B". Gör det själv och notera att det redan kommer att finnas tre operationer.

Pierces pil

Med tanke på Peirce-pilen, som är negationen av disjunktionen "inte (A eller B)", jämför den med konjunktionen av negativa "inte A och inte B". Låt oss fylla i två tabeller:

A	B	inte A	inte B	inte A och inte B
L	L	OCH	OCH	OCH
L	OCH	OCH	L	L
OCH	L	L	OCH	OCH
OCH	OCH	L	L	L

Värdena för uttrycken matchade. Efter att ha undersökt dessa två exempel kan du komma till en slutsats hur man utökar parenteser efter negation: negation tillämpas på alla variabler inom parentes, konjunktion ändras till disjunktion och disjunktion till konjunktion.

Bestämning av likvärdighet

Om påståenden A och B kan vi säga att de är likvärdiga om och bara om A följer av A och från B följer A. Låt oss skriva detta som ett logiskt uttryck och bygga en sanningstabell för det. "(A är ekvivalent med B) är ekvivalent med (från A följer B) och (från B följer A)".

Det finns två variabler och fem åtgärder. Vi bygger bordet:

I den sista kolumnen är alla värden sanna. Detta betyder att ovanstående definition av ekvivalens är sann för alla värden av A och B. Därför är den alltid sann. Exakt med hjälp av en sanningstabell du kan kontrollera riktigheten av alla definitioner och logiska konstruktioner.

Det är vanligt att skriva lösningen av logiska uttryck i formuläret sanningstabeller - tabeller, som genom åtgärder visar vilka värden ett logiskt uttryck tar för alla möjliga uppsättningar av dess variabler.

När man sammanställer en sanningstabell för ett logiskt uttryck är det nödvändigt att ta hänsyn ordning för utförande av logiska operationer , nämligen:

1. åtgärder inom parentes,
2. inversion (negation),
3. & (samband),
4. v (åtskiljande),
5. => (implikation),
6. <=> (likvärdighet ).

Algoritm för att sammanställa en sanningstabell :

1. Ta reda på antalet rader i en tabell (beräknat som 2 n, där n - antal variabler + rad med kolumnrubriker).

2. Ta reda på antalet kolumner (beräknat som antalet variabler + antalet logiska operationer).

3. Upprätta en sekvens för att utföra logiska operationer.

4. Bygg en tabell som anger kolumnnamnen och möjliga uppsättningar värden för de ursprungliga booleska variablerna.

5. Fyll sanningstabellen efter kolumner.

6. Skriv ner ditt svar.

Exempel 6 Låt oss bygga en sanningstabell för uttrycketF = (Av B) & ( ¬ A v¬ B) . 1. Antal rader = 2 2 (2 variabler + rad med kolumnrubriker) = 5. 2. Antal kolumner = 2 booleska variabler (A, B) + 5 booleska operationer (v,&, ¬ , v, ¬ ) = 7. 3. Låt oss ordna operationsordningen: 1 5 2 43 (A v B) & ( ¬ A v¬ B) 4-5. Låt oss bygga en tabell och fylla den i kolumner: A v V ¬ A ¬ V ¬ A v¬ V (A v B) & ( ¬ A v¬ B) 0 0 0 1 1 0 6. Svar: F = 0, för A = B = 0 och A = B = 1 Exempel 7 Låt oss bygga en sanningstabell för ett logiskt uttryck F = X v Y & ¬ Z. 1. Antal rader = 2 3 + 1 = (3 variabler + rad med kolumnrubriker) = 9. 2. Antal kolumner = 3 booleska variabler + 3 booleska operationer = 6. 3. Vi anger ordningen för åtgärderna: 3 2 1 X v Y & ¬ Z 4-5.Byggam tabell och fyll den i kolumner: ¬ Z Y & ¬ Z X v Y & ¬ Z 0 0 0 0 0 0 1 0 6. Svar: F = 0, för X = Y = Z = 0; på X = Y = 0 och Z = 1.

Övning #8

Bygg sanningstabeller för följande booleska uttryck:

1. F = (Av B) & ( ¬ A & ¬ B).

2.F = X & ¬ Y v Z.

Testa dig själv (exempel på svar)

Notera!

För att undvika fel, rekommenderas det att lista uppsättningarna av indatavariabler enligt följande:

A) dela kolumnen med värden för den första variabeln på mitten och fyll den övre delen av kolumnen med nollor och den nedre med ettor;

B) dela upp kolumnen med värden för den andra variabeln i fyra delar och fyll varje kvartal med omväxlande grupper av nollor och ettor, som börjar med en grupp nollor;

C) fortsätt att dividera kolumner med värden för efterföljande variabler med 8, 16, etc. delar och fyll dem med grupper av nollor eller ettor tills grupperna med nollor och ettor består av ett tecken.

Tautologi - identiskt sann formel Sann " ("1

Motsägelse - identiskt falsk formel , eller en formel som tar värdet " Liggande " ("0 ") för alla värden av variablerna som ingår i den.

Motsvarande formler - två formler A och V tar samma värden, med samma uppsättningar värden av variablerna som ingår i dem.Ekvivalensen av två formler i logikens algebra betecknas med symbolen.

Datavetenskap: persondatorhårdvara Yashin Vladimir Nikolaevich

4.3. Logiska funktioner och sanningstabeller

Relationer mellan logiska variabler och logiska funktioner i logisk algebra kan också visas med hjälp av motsvarande tabeller, som kallas sanningstabeller. Sanningstabeller används ofta eftersom de tydligt visar vilka värden en logisk funktion tar för alla kombinationer av värden av dess logiska variabler. Sanningstabellen består av två delar. Den första (vänstra) delen hänvisar till booleska variabler och innehåller en komplett lista över möjliga kombinationer av booleska variabler. A, B, C... etc. Den andra (höger) delen av denna tabell definierar utgångstillstånd som en logisk funktion av kombinationer av inmatade kvantiteter.

Till exempel för en logisk funktion F = A v B v C(disjunktion) av tre booleska variabler A, B, och MED sanningstabellen kommer att ha den form som visas i fig. 4.1. För att registrera värdena för logiska variabler och en logisk funktion, innehåller denna sanningstabell 8 rader och 4 kolumner, det vill säga antalet rader för att registrera värdena för argument och funktioner för alla sanningstabeller kommer att vara lika med 2 n, var NS - antalet argument till den booleska funktionen, och antalet kolumner är n + 1.

Ris. 4.1. Sanningstabell för en logisk funktion F = A v V v C

En sanningstabell kan kompileras för vilken logisk funktion som helst, till exempel i fig. 4.2 är en tabell över sanningen av den logiska funktionen F = A? B? C(motsvarande).

Logiska funktioner namnges därefter. Det finns sexton logiska funktioner för två binära variabler, vars namn anges nedan. I fig. 4.3 är en tabell som visar de logiska funktionerna F 1, F 2, F 3, … , F 16 två booleska variabler A och V.

Fungera F 1 = 0 och kallas en konstant nollfunktion, eller en nollgenerator.

Ris. 4.2. Sanningstabell för en logisk funktion F = A? B? C

Ris. 4.3. Logiska funktioner F 1, F 2, F 3, ... F 16 av två argument A och V

Fungera F 2 = A & B kallas konjunktionsfunktionen.

A.

Fungera F 4 = A A.

kallas funktionen att hämma en logisk variabel V.

Fungera F 6 = B kallas upprepningsfunktionen på en boolesk variabel V.

kallas den exklusiva "ELLER"-funktionen.

Fungera F 8 = A v B kallas disjunktionsfunktionen.

kallas Pierce-funktionen.

kallas en ekvivalensfunktion.

V.

Fungera F 12 = B? A B? A.

kallas funktionen av negation (inversion) av en logisk variabel A.

Fungera F 14 = A? B kallas implikationsfunktionen A? B.

kallas Scheffer-funktionen.

Fungera F 16 = 1 kallas funktionen för generator 1.

Bland de logiska funktionerna för variabler listade ovan finns det flera logiska funktioner som kan användas för att uttrycka andra logiska funktioner. Operationen att ersätta en logisk funktion med en annan i logikens algebra kallas operationen för superposition eller metoden för superposition. Till exempel kan Schaeffer-funktionen uttryckas med hjälp av logiska disjunktions- och negationsfunktioner med hjälp av de Morgans lag:

Logiska funktioner som kan användas för att uttrycka andra logiska funktioner med superpositionsmetoden kallas grundläggande logiska funktioner. En sådan uppsättning av grundläggande logiska funktioner kallas en funktionellt komplett uppsättning av logiska funktioner. I praktiken är tre logiska funktioner mest använda som en sådan uppsättning: konjunktion, disjunktion och negation. Om en logisk funktion representeras med hjälp av grundläggande funktioner, kallas denna form av presentation normal. I det föregående exemplet är Schaeffers logiska funktion, uttryckt i termer av basfunktioner, representerad i normal form.

Med hjälp av en uppsättning grundläggande funktioner och deras motsvarande tekniska enheter som implementerar dessa logiska funktioner, kan du designa och skapa vilken logisk enhet eller system som helst.

Ris. 4.4. Funktionsguide - Steg 1 av 2 Dialogrutan

Som framgår av fig. 4.4, som en del av programmets logiska funktioner MS Excel inkluderar en funktionellt komplett uppsättning logiska funktioner, bestående av följande logiska funktioner: AND (konjunktion), OR (disjunktion), NOT (negation). Således använder en funktionellt komplett uppsättning logiska funktioner i programmet MS Excel andra funktioner kan implementeras. Logisk funktion IF (implikation), ingår även i logiska funktioner MS Excel, utför en logisk kontroll och, beroende på resultatet av kontrollen, utför en av två möjliga åtgärder. I det här programmet har det följande format: = IF (arg1; arg2; arg3), där arg1 är ett logiskt villkor; arg2 är returvärdet förutsatt att värdet på argumentet arg1 är sant (TRUE); arg3 är returvärdet förutsatt att arg1 inte utvärderas (FALSK). Till exempel om i en godtycklig cell i programbladet MS Excel ange uttrycket "= OM (A1 = 5;" fem ";" inte fem ")", när du sedan anger siffran 5 i cell A1 och trycker på "Enter"-tangenten i cell A1, kommer ordet "fem" automatiskt skrivas, när du anger några andra siffror i cell A1 kommer ordet "inte fem" att skrivas i den. Som redan nämnts, med hjälp av de logiska funktionerna i programmet MS Excel kan representerar andra logiska funktioner och deras motsvarande sanningstabeller.

Vi implementerar med de logiska funktionerna OM och OCH den modifierade sanningstabellen för den logiska funktionen F = A & B(konjunktion), bestående av två rader och tre kolumner, vilket gör det möjligt att ändra värdena (0 eller 1) för logiska variabler A och B ställ in automatiskt, till exempel, i cell E6 värdet på funktionen F = A & B, motsvarande värdena för dessa booleska variabler. För att göra detta, skriv in följande uttryck i cell E6: "= OM (OCH (C6; D6; 1; 0)", sedan när du anger värdena 0 eller 1 i cell E6 i cell C6 och D6, den logiska funktionen kommer att verkställas F = A & B. Resultatet av dessa åtgärder visas i fig. 4.5.

Ris. 4.5. Implementering av en modifierad logikfunktions sanningstabell F = A & B

Denna text är ett inledande fragment. Från boken Computer Science and Information Technology: Lecture Notes författaren Tsvetkova AV

1. Logiska kommandon Tillsammans med medel för aritmetiska beräkningar har mikroprocessorns kommandosystem också medel för logisk datakonvertering. Logisk betyder sådana datatransformationer, som är baserade på de formella reglerna

Från boken Computer 100. Komma igång med Windows Vista författaren Zozulya Yuri

Logiska funktioner i Excel Vid beräkning måste man ofta välja en formel beroende på specifika förutsättningar. Vid löneberäkning kan till exempel olika bidrag tillämpas beroende på tjänstgöringstid, kvalifikationer eller specifika arbetsvillkor som beräknas

Från en Excel-arbetsbok. Multimediakurs författaren Medinov Oleg

Logiska funktioner Logiska funktioner kan användas i matematiska, tekniska beräkningar eller i jämförande dataanalys. Vi kommer att titta på en boolesk funktion med IF-funktionen som exempel.Med IF-funktionen kan du skapa ett booleskt uttryck och

Från boken Computer Science: Personal Computer Hardware författaren Yashin Vladimir Nikolaevich

4.1. Logiska variabler och logiska operationer Information (data, maskininstruktioner, etc.) i en dator representeras i ett binärt talsystem, som använder två siffror - 0 och 1. En elektrisk signal som passerar genom elektroniska kretsar och ansluter

Från boken PHP Author's Reference

Booleska funktioner för att bestämma typen av en variabel is_scalar Kontrollerar om en variabel är enkel Syntax: bool is_scalar (blandad var) Returnerar sant om var är av skalär typ (tal, strängar, booleaner), men inte komplex (matriser eller objekt). Is_null Kollar om det är det

Från boken HTML 5, CSS 3 och Web 2.0. Utveckling av moderna webbsidor författaren Dronov Vladimir

Logiska operatorer Logiska operatorer utför operationer på booleska värden. Alla anges i tabellen. 14.5. Och i tabellen. 14.6 och 14.7 visar resultaten av dessa operatorer. Det huvudsakliga tillämpningsområdet för booleska operatorer är jämförelseuttryck (se om dem.

Från XSLT-boken författaren Holzner Stefan

Booleska funktioner XPath XPath stöder även följande uppsättning booleska funktioner: boolean (). Konverterar argumentet till ett booleskt värde; falskt (). Returnerar falskt (falskt); lang (). Kontrollerar om språket som ställts in i xml: lang-attributet är detsamma som språket som skickas till funktionen; inte ().

Från boken XSLT Technology författaren Valikov Alexey Nikolaevich

Booleska operationer XSLT har två booleska operationer, eller och och. Dessa operationer är binära, det vill säga var och en av dem är definierad för två operander. Om operanderna inte är booleska är de implicit booleska. Semantiken för eller och och är uppenbar - de är

Från boken The C Programming Language for the Personal Computer författaren Bochkov S.O.

Logiska operationer Logiska operationer utför logiska funktioner AND (&&) och OR (||) på sina operander. Operander för logiska operationer kan vara av heltalstyp, flytande typ eller pekare. Typerna av den första och andra operanden kan vara olika. Alltid först

Från boken A Brief Introduction to Programming in Bash författaren Rodriguez Harold

Logisk OCH och ELLER Du har redan sett vad kontrollstrukturer är och hur man använder dem. Det finns ytterligare två sätt att utföra samma uppgifter. Dessa är logiska OCH - "&&" och logiska "ELLER" - "|| ". Boolean AND används enligt följande: expression_1 && expression_2

Från boken Firebird DATABAS DESIGNER'S GUIDE av Borri Helen

Booleska operatorer Firebird tillhandahåller tre booleska operatorer som kan arbeta med andra predikat på olika sätt * INTE specificerar negationen av söktermen som den gäller. Den har högsta prioritet.* OCH skapar ett komplext predikat, sammanfogar de två

Från boken C Language - A Beginner's Guide av Prata Stephen

Att förstå sant och falskt Semantiskt, om ett predikat returnerar "osäkerhet", är det varken sant eller falskt. I SQL löser detta bara påståenden som sant eller falskt - ett påstående som inte utvärderas till sant behandlas som

Från boken Data Recovery 100% författaren Tashkov Petr Andreevich

IV. Logiska operationer Logiska operationer anses i allmänhet vara operander. Drift! har en operand till höger. Resten av operationerna har två operander: en till vänster och en till höger. && Boolean AND: resultatet av operationen är sant,

Från C++-boken för nybörjare författaren Lippman Stanley

Logiska överträdelser Om en enhet är fysiskt sund, men verkar vara tom eller oformaterad, och data på den inte är synliga för operativsystemet, är i det här fallet filsystemets tjänsttabeller skadade. Data förblir nästan alltid på

Från boken Beskrivning av språket PascalABC.NET författaren RuBoard team

12.3.4. Logiska funktionsobjekt Logiska funktionsobjekt stöder "logiska OCH"-operationer (returnerar sant om båda operanderna är sanna, - använder &&-operatorn som är associerad med typtypen), "logiskt ELLER" (returnerar sant om minst en av operanderna är sann, -

Från författarens bok

Booleska operationer Booleska operationer inkluderar de binära operationerna och, eller, och xor, såväl som den unära operationen not, som har booleska operander och returnerar ett booleskt värde. Dessa operationer följer logikens standardregler: a och b är sanna endast när a och b är sanna, a eller b är sant

Idag ska vi prata om ett ämne som kallas datavetenskap. Sanningstabell, typer av funktioner, ordningen för deras utförande - det här är våra huvudfrågor, som vi kommer att försöka hitta svar på i artikeln.

Vanligtvis ges denna kurs på gymnasiet, men det stora antalet elever är orsaken till en bristande förståelse för vissa funktioner. Och om du ska ägna ditt liv åt detta, kan du helt enkelt inte klara dig utan att klara det enhetliga provet i datavetenskap. Sanningstabell, omvandling av komplexa uttryck, att lösa logiska problem - allt detta kan hittas i biljetten. Nu ska vi titta närmare på detta ämne och hjälpa dig att få fler poäng på provet.

Ämnet för logik

Vad är detta ämne - datavetenskap? Sanningstabell - hur bygger man det? Varför behövs vetenskapen om logik? Vi kommer nu att svara på alla dessa frågor.

Datavetenskap är ett ganska fascinerande ämne. Det kan inte orsaka svårigheter i det moderna samhället, eftersom allt som omger oss, på ett eller annat sätt, refererar till en dator.

Grunderna i vetenskapen om logik lärs ut av gymnasielärare på lektioner i datavetenskap. Sanningstabeller, funktioner, förenkling av uttryck - allt detta bör förklaras av läraren i datavetenskap. Denna vetenskap är helt enkelt nödvändig i vårt liv. Ta en närmare titt, allt lyder vissa lagar. Du kastade bollen, den flög upp, men föll sedan tillbaka till marken, detta hände på grund av närvaron av fysikens lagar och tyngdkraften. Mamma gör soppa och saltar. Varför får vi inte spannmål när vi äter det? Det är enkelt, saltet löses i vatten och följer kemins lagar.

Var nu uppmärksam på hur du pratar.

• "Om jag tar med min katt till veterinärkliniken kommer han att vaccineras."
• "Idag var en väldigt svår dag eftersom checken kom."
• "Jag vill inte gå på universitetet för idag blir det ett kollokvier" och så vidare.

Allt som du säger följer med nödvändighet logikens lagar. Detta gäller både affärsmässiga och vänliga samtal. Det är av denna anledning som det är nödvändigt att förstå logikens lagar för att inte agera slumpmässigt, utan för att vara säker på resultatet av händelser.

Funktioner

För att sammanställa en sanningstabell för det problem som föreslagits för dig måste du känna till logiska funktioner. Vad det är? En logisk funktion har några variabler som är påståenden (sant eller falskt), och värdet på själva funktionen bör ge oss svaret på frågan: "Är uttrycket sant eller falskt?"

Alla uttryck antar följande värden:

• Sant eller falskt.
• Och eller L.
• 1 eller 0.
• Plus eller minus.

Här, ge företräde åt den metod som är mer bekväm för dig. För att skapa en sanningstabell måste vi lista alla kombinationer av variabler. Deras antal beräknas med formeln: 2 i n potens. Resultatet av beräkningen är antalet möjliga kombinationer, variabeln n i denna formel anger antalet variabler i villkoret. Om uttrycket har många variabler kan du använda en miniräknare eller göra en liten tabell för dig själv genom att höja två till en potens.

Totalt skiljer sig sju funktioner eller anslutningar i logik som kopplar samman uttryck:

• Multiplikation (konjunktion).
• Tillägg (disjunktion).
• Följd (implikation).
• Likvärdighet.
• Inversion.
• Schaeffers stroke.
• Pierces pil.

Den första operationen i listan kallas logisk multiplikation. Det kan markeras grafiskt med en inverterad bock, & eller *. Den andra operationen i vår lista är logisk tillägg, grafiskt indikerad som en bock, +. En implikation kallas en logisk konsekvens, den indikeras som en pil som pekar från ett tillstånd till en konsekvens. Ekvivalens indikeras med en dubbelpil, funktionen har ett sant värde endast i de fall då båda värdena tar antingen värdet "1" eller "0". Inversion kallas logisk negation. Schaeffers slag kallas en funktion som negerar konjunktion, och Peirces pil kallas en funktion som negerar disjunktion.

Grundläggande binära funktioner

Den logiska sanningstabellen hjälper till att hitta svaret i problemet, men för detta måste du komma ihåg tabellerna med binära funktioner. De kommer att tillhandahållas i det här avsnittet.

Konjunktion (multiplikation). Om två, så får vi sanningen som ett resultat, i alla andra fall får vi en lögn.

Resultatet är falskt med logisk addition, vi har bara i fallet med två falska ingångar.

En logisk konsekvens får ett falskt resultat endast när villkoret är sant och effekten är falsk. Här kan du ge ett exempel från livet: "Jag ville köpa socker, men butiken var stängd", därför köptes aldrig socker.

Ekvivalens är sant endast i fall där indatavärdena är desamma. Det vill säga med par: "0; 0" eller "1; 1".

I fallet med inversion är allt elementärt, om det finns ett sant uttryck vid ingången konverteras det till falskt och vice versa. Bilden visar hur det visas grafiskt.

Schiffer-strecken ger ett falskt resultat endast om det finns två sanna uttryck.

I fallet med Pierces pil kommer funktionen att vara sann endast om vi bara har falska uttryck som indata.

I vilken ordning att utföra logiska operationer

Observera att det bara är möjligt att bygga sanningstabeller och förenkla uttryck om operationsordningen utförs korrekt. Kom ihåg i vilken sekvens de måste utföras, detta är mycket viktigt för att få rätt resultat.

• logisk negation;
• multiplikation;
• tillägg;
• Följd;
• likvärdighet;
• negation av multiplikation (Schaeffers stroke);
• negation av addition (Pierces pil).

Exempel #1

Nu föreslår vi att vi överväger ett exempel på att konstruera en sanningstabell för 4 variabler. Det är nödvändigt att ta reda på i vilka fall F = 0 för ekvationen: notA + B + C * D

Svaret på denna uppgift kommer att vara att räkna upp följande kombinationer: "1; 0; 0; 0", "1; 0; 0; 1" och "1; 0; 1; 0". Som du kan se är det ganska enkelt att göra en sanningstabell. Återigen vill jag uppmärksamma er på ordningen för att utföra åtgärder. I ett specifikt fall var det följande:

1. Inversion av det första enkla uttrycket.
2. Konjunktionen av det tredje och fjärde uttrycket.
3. Disjunktion av det andra uttrycket med resultaten av tidigare beräkningar.

Exempel nr 2

Nu ska vi överväga en annan uppgift som kräver att man bygger en sanningstabell. Informatik (exempel togs från skolkursen) kan ha som uppgift. Låt oss ta en snabb titt på en av dem. Är Vanya skyldig till att ha stulit bollen om följande är känt:

• Om Vanya inte stal eller Petya stal, deltog Seryozha i stölden.
• Om Vanya inte är skyldig, så stal Seryozha inte bollen heller.

Låt oss introducera följande notation: I - Vanya stal bollen; P - Petya stal; S - Seryozha stal.

Enligt detta villkor kan vi sammanställa ekvationen: F = ((inte И + П) implikation С) * (inte och implikation notС). Vi behöver de alternativen där funktionen får ett verkligt värde. Därefter måste du skapa en tabell, eftersom denna funktion har så många som 7 åtgärder, kommer vi att utelämna dem. Vi kommer bara att ange indata och resultatet.

Observera att i detta problem använde vi plus och minus istället för tecknen "0" och "1". Detta är också acceptabelt. Vi är intresserade av kombinationer där F = +. Efter att ha analyserat dem kan vi dra följande slutsats: Vanya deltog i stölden av bollen, eftersom i alla fall där F tar värdet +, Och har ett positivt värde.

Exempel nr 3

Nu föreslår vi att du hittar antalet kombinationer när F = 1. Ekvationen har följande form: F = notA + B * A + notB. Vi sammanställer en sanningstabell:

Svar: 4 kombinationer.

Bygga sanningstabeller och logiska funktioner

Logisk funktion är en funktion där variabler endast har två värden: logisk etta eller logisk noll. Sanningen eller falskheten i komplexa bedömningar är en funktion av sanningen eller falskheten hos enkla. Denna funktion kallas den booleska bedömningsfunktionen f (a, b).

Vilken logisk funktion som helst kan specificeras med hjälp av en sanningstabell, på den vänstra sidan av vilken en uppsättning argument skrivs, och på höger sida - motsvarande värden för den logiska funktionen. När du konstruerar en sanningstabell är det nödvändigt att ta hänsyn till ordningen i vilken logiska operationer utförs.

Ordningen för utförande av logiska operationer i ett komplext booleskt uttryck:

1. inversion;

2. konjunktion;

3. disjunktion;

4. implikation;

5. likvärdighet.

Hakparenteser används för att ändra den specificerade operationsordningen.

Algoritm för att konstruera sanningstabeller för komplexa uttryck :

antal rader = 2 n + rad för titel ,

n är antalet enkla påståenden.

antal kolumner = antal variabler + antal logiska operationer ;

· Bestäm antalet variabler (enkla uttryck);

· Att bestämma antalet logiska operationer och sekvensen av deras exekvering.

3. Fyll i kolumnerna med resultaten av att utföra logiska operationer i den angivna sekvensen, med hänsyn till sanningstabellerna för de huvudsakliga logiska operationerna.

Exempel: Skapa en sanningstabell för ett logiskt uttryck:

D= А & (BVC)

Lösning:

1. Bestäm antalet rader:

det finns tre enkla påståenden vid ingången: A, B, C därför är n = 3 och antalet rader = 23 +1 = 9.

2. Bestäm antalet kolumner:

enkla uttryck (variabler): A, B, C;

mellanresultat (logiska operationer):

A- inversion (beteckna med E);

BVCär disjunktionsoperationen (vi betecknar med F);

samt det önskade slutvärdet för det aritmetiska uttrycket:

D= А & (BVC) ... dvs. D = E & Fär en konjunktionsoperation.

Fyll i kolumnerna med hänsyn till sanningstabellerna för logiska operationer.

font-size: 12.0pt "> Bygga en logisk funktion från dess sanningstabell:

Låt oss försöka lösa det omvända problemet. Låt en sanningstabell ges för någon logisk funktion Z (X, Y):

teckenstorlek: 12.0pt "> 1.

Eftersom det finns två linjer får vi en disjunktion av två element: () V () .

Vi skriver varje logiskt element i denna disjunktion som en konjunktion av funktionsargumenten X och Y: ( X & Y) V ( X & Y).