Основные понятия теории электрических цепей. Условное графическое обозначение и ВАХ резистивного элемента

Описание работы и расчет (моделирование) электрических устройств можно проводить на базе теории электромагнитного поля. Этот подход приводит к сложным математическим моделям (системам дифференциальных уравнений в частных производных) и используется в основном при анализе сверхвысокочастотных устройств и антенн.

Значительно проще и удобнее моделировать электрические устройства на основе уравнений электрического равновесия токов и напряжений. На этой основе построена теория электрических цепей .

Заряд, ток, напряжение, мощность, энергия

Электрическим зарядом называют источник электрического поля, через которое заряды взаимодействуют друг с другом . Электрические заряды могут быть положительными (ионы) и отрицательными (электроны и ионы). Разноименные заряды притягиваются, а одноименные – отталкиваются. Величина заряда измеряется в кулонах (К).

Величина (сила) тока равна отношению бесконечно малого заряда (количества электричества)
, переносимого в данный момент временичерез поперечное сечение проводника за бесконечно малый интервал времени
к величине этого интервала,

. (1.1)

Ток измеряется в амперах (А), в технике широко используют значения в миллиамперах (1 мА=10 -3 А), микроамперах (1 мкА=10 -6 А) и наноамперах (1 нА=10 -9 А), значения дольных приставок приведены в приложении 1.

Электрический потенциал некоторой точки – это величина, равная отношению потенциальной энергии, которой обладает зарядв этой точке, к величине заряда,

. (1.2)

Потенциальная энергия равна энергии, затрачиваемой на перенос заряда из данной точки с потенциаломв точку с нулевым потенциалом.

Если - потенциал точки 2, а- точки 1, то напряже-

ние между точками 2 и 1 равно

. (1.3)

Напряжение измеряется в вольтах (В), используются значения в киловольтах (кВ), милливольтах (мВ) и микровольтах (мкВ).

Ток и напряжение характеризуются направлением, которое указывается стрелкой, как показано на рис. 1.1. Они задаются произвольнодо начала расчетов . Желательно, чтобы ток и напряжение для одного элемента цепи имели быодинаковые поло-

Рис. 1.1 жительные направления. Обозначения могут

иметь индексы, например, напряжение
между точками 1 и 2 на рис. 1.1.

Численные значения тока и напряжения характеризуются знаком. Если знак положительный, то это означает, что истинное положительное направление совпадает с заданным, а иначе они противоположны.

Движение зарядов в электрической цепи характеризуются энергией имощностью . Для перемещения бесконечно малого заряда
между точками 1 и 2 с напряжением
в цепи на рис. 1.1 необходимо затратить бесконечно малую энергию
, равную

, (1.4)

тогда энергия цепи в интервале времени от дос учетом (1.1) определяется выражением

. (1.5)

При постоянных токе
и напряжении
энергия равнаи неограниченно растет с течением времени. Это относится и к общему выражению (1.5), что делает энергию цепи достаточно неудобной технической характеристикой.

Мгновенная мощность
зависит от времени и может бытьположительной (цепь потребляет энергию извне) иотрицательной (цепь отдает ранее накопленную энергию).

Средняя мощность всегда неотрицательна , если внутри цепи отсутствуют источники электрической энергии.

Энергия измеряется в джоулях (Дж), а мгновенная и средняя мощности – в ваттах (Вт).

1.3. Элементы электрической цепи

Элемент – это неделимая часть электрической цепи. В физической цепи (радиоприемнике) имеются физические элементы (резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, диоды, транзисторы и т.д.). Они имеют сложные свойства и математический аппарат их точного описания на основе теории электромагнитного поля.

При расчете электрической цепи необходимо разработать достаточно точные, простые и удобные с инженерной точки зрения модели физических элементов, которые в дальнейшем будем называтьэлементами .

Инженерные модели в электротехнике строятся на основе физических представлений о взаимосвязи в них тока и напряжения. Свойства резистивных двухполюсных (с двумя выводами) элементов описываются вольтамперными характеристиками (ВАХ) – зависимостью тока через элементот приложенного к нему напряжения. Эта зависимость может быть прямолинейной (для резистора на рис. 1.2а) или нелинейной (для полупроводникового диода на рис.1.2б).

Элементы с прямолинейной ВАХ называют линейными , а иначе –нелинейными . Аналогично рассматриваются емкостные элементы, для которых используют кулон – вольтную характеристику (зависимость накопленного заряда от приложенного напряжения), и индуктивные с использованием вебер - амперной характеристики (зависимости магнитного потока от протекающего через элемент тока).

1.4. Модели основных линейных элементов цепи

Основными линейными элементами электрической цепи являются резистор, конденсатор и катушка индуктивности. Их условно-графические обозначения показаны на рис. 1.3 (сверху указаны названия физических элементов, а внизу – их моделей).

Сопротивление (модель резистора) в соответствии с рис. 1.4 строится на основе закона Ома в классической формулировке,

, (1.10)

где- параметр модели, называемыйсопротивлением , а-проводимостью ,

. (1.11)

Рис. 1.4

Как видно из (1.10), сопротивление – это линейный элемент (с прямолинейной ВАХ). Его параметр - сопротивление - измеряется в Омах (Ом) или внесистемных единицах – килоомах (кОм), мегаомах (Мом) или гигаомах (ГОм). Проводимостьопределяется выражением (1.11), обратна сопротивлению и измеряется в 1/Ом. Сопротивление и проводимость элементане зависят от величин тока и напряжения.

В сопротивлении ток и напряжение пропорциональны друг другу, имеют одинаковую форму.

Мгновенная мощность электрического тока в сопротивлении равна

Как видно, мгновенная мощность в сопротивлении не может быть отрицательна , то есть сопротивление всегдапотребляет мощность (энергию), преобразуя ее в тепло или другие виды, например, в электромагнитное излучение. Сопротивление – это модель диссипативного элемента, рассеивающего электрическую энергию.

Емкость (модель конденсатора) в соответствии с рис.1.5 формируется исходя из того, что накопленный в ней заряд пропорционален приложенному напряжению,

. (1.13)

Параметр модели – емкость - не зависит

Рис. 1.5 от тока и напряжения и измеряется в фарадах

(Ф). Величина емкости 1 Ф очень велика, на практике широко используются значения в микрофарадах (1 мкФ = 10 -6 Ф), нанофарадах (1 нФ = 10 -9 Ф) и пикофарадах (1 пФ = 10 -12 Ф).

Подставляя (1.13) в (1.1), получим модель для мгновенных значений тока и напряжения

.

Из (1.14) можно записать обратное выражение для модели,

Мгновенная электрическая мощность в емкости равна

. (1.16)

Если напряжение положительно и увеличивается с течением времени (его производная больше нуля), то мгновенная мощность положительна и емкостьнакапливает в себе энергию электрического поля. Аналогичный процесс имеет место, если напряжение отрицательно и продолжает уменьшаться.

Если же напряжение емкости положительно и падает (отрицательно и растет), то мгновенная мощность отрицательна , а емкостьотдает во внешнюю цепь ранее накопленную энергию.

Таким образом, емкость – это элемент, накапливающий электрическую энергию (подобно банке, в которой накапливается вода, и из которой она может выливаться), потери энергии в емкости отсутствуют .

Накопленная в емкости энергия определяется выражением

Индуктивность (модель катушки индуктивности) формируется исходя из того, что потокосцепление
, равное произведению магнитного потока(в веберах) на число витков катушки, прямо пропорционально протекающему через нее току(рис. 1.6),

, (1.18)

где - параметр модели, который называетсяиндуктивностью и измеряется в генри (Гн).

Рис. 1.6 Величина 1 Гн – это очень большая ин-

дуктивность, поэтому используют внесистемные единицы: миллигенри (1 мГн = 10 -3 Гн), микрогенри (1 мкГн = 10 -6 Гн) и наногенри (1 нГн = 10 -9 Гн).

Изменение потокосцепления в индуктивности вызывает электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции
, равную

(1.19)

и направленную противоположно току и напряжению, тогда
и модель катушки индуктивностидля мгновенных значений тока и напряжения принимает вид

Можно записать обратное выражение модели,

Мгновенная электрическая мощность в индуктивности равна

. (1.22)

Если ток положителен и растет, или отрицателен и падает, то мгновенная мощность положительна и индуктивностьнакапливает в себе энергию магнитного поля. Если же ток индуктивности положителен и падает (отрицателен и растет), то мгновенная мощностьотрицательна , и индуктивностьотдает во внешнюю цепь ранее накопленную энергию.

Таким образом, индуктивность (как и емкость) – это элемент, только накапливающий энергию, потери энергии в индуктивности отсутствуют .

Накопленная в индуктивности энергия равна

Законы Ома для элементов цепи

Рассмотренные модели элементов электрической цепи, определяющие взаимосвязь между мгновенными значениями токов и напряжений, будем в дальнейшем называть законами Ома для элементов цепи, хотя собственно закон Ома относится лишь к сопротивлению.

Эти соотношения сведены в табл. 1.1. Они являются линейными математическими операциями и относятся только к линейным элементам.

В нелинейных элементах связь между током и напряжением существенно сложнее и в целом может быть описана нелинейными интегро-дифференциальными уравнениями, для которых отсутствуют общие методы решения.

Таблица 1.1

Законы Ома в элементах цепи для мгновенных значений тока и напряжения

	Зависимость тока от напряжения	Зависимость напряжения от тока

Расчет тока и напряжения в элементах цепи

В качестве примера проведем расчет напряжения на элементах цепи при заданной зависимости тока от времени, показанной на рис. 1.7.

Математически эту зависимость можно записать

Рис. 1.7 в виде

(1.24)

Необходимо помнить, что в (1.24) время измеряется в миллисекундах, а ток- миллиамперах.

Тогда в показанном на рис. 1.4. сопротивлении при
кОм напряжение равно
(рис. 1.8а) и мощность
(рис. 1.8б). Формы временных диаграмм тока и напряжения в сопротивлении совпадают, а произведение двух прямолинейных зависимостей
и
дает параболические кривые изменения мощности
.

В емкости (рис.1.5)
мкФ мгновенные значения тока и напряжения связаны между собой выражениями (1.14) или (1.15). Для тока (рис.1.7) вида (1.24) из

(1.25)

получим формулу для напряжения на емкости в вольтах

(1.26)

Расчет при
1 мс выполняется очевидно. При

интеграл (1.25) записывается в виде

(1.27)

На интервале времени
мс интеграл (1.25) имеет вид

иявляется константой. Временная диаграмма
показана на рис. 1.9. Как видно, на интервале времени
мс, пока действует импульс тока, происходит заряд конденсатора, а затем напряжение заряженной емкости не меняется. На рис. 1.10а показана зависимость от времени мгновенной мощности

Рис. 1.9 (1.16), а на рис. 1.10б – накоп-

ленной в емкости энергии
(1.17). Как видно, емкость только накапливает энергию, так как разряд не происходит (ток вида рис. 1.7 принимает только положительные значения).

Для получения формулы мощности
необходимо перемножить выражения (1.24) и (1.26) на соответствующих

временных интервалах (получим полином третьей степени ).

Энергия
определяется из (1.17) при подстановке (1.26), что приводит к полиномам четвертой степени.

Для индуктивности рис. 1.6
Гн при токе, показанном на рис. 1.7 напряжение
определяется выражением (1.20)

, (1.29)

тогда при подстановке (1.24) для
в вольтах получим

(1.30)

Эта зависимость показана на рис. 1.11. При графическом дифференцировании прямолинейных зависимостей на рис. 1.7 получим на соответствующих интервалах времени константы, что соответствует рис. 1.11.

Мощность определяется выражением (1.22), тогда для
в милливаттах получим

(1.31)

Зависимость
показана на рис. 1.12а. Накопленная в индуктивности энергия вычисляется по формуле (1.23), тогда график
имеет вид, показанный на рис. 1.12б.

Как видно, мгновенная мощность с ростом тока на интервале времени от 0 до 1мс прямо пропорционально увеличивается, а накопленная в индуктивности энергия растет по квадратичному закону. Когда ток начинает падать при
, то напряжение
и мощность
становятся отрицательными (рис. 1.11 и рис. 1.12а), а это означат, что индуктивность отдает ранее накопленную энергию, которая начинает снижаться по квадратичному закону (рис. 1.12б).

Расчет сигналов и энергетических характеристик в элементах цепи R,LиCможно провести с помощью программыMathCAD.

Идеальные источники сигнала

Электрические сигналы (токи и напряжения) возникают в цепи при воздействии на нее источников. Физические источники – это батареи и аккумуляторы, формирующие постоянные ток и напряжение, генераторы переменных напряжений различной формы и другие электронные устройства. На их зажимах (полюсах) возникает напряжение (разность потенциалов) и через них протекает ток за счет электрохимических процессов или других сложных физических явлений. В физике их обобщенное действие характеризуютэлектродвижущей силой (ЭДС) .

Для расчета электрических цепей необходимы модели источников сигнала. Простейшими из них являютсяидеальные источники .

Графическое изображение (обозначение) идеального источника напряжения показано на рис. 1.13 в виде окружности со стрелкой, указывающей положительное направление ЭДС
. На полюсах источника возникает напряжение
, которое при указанных положительных направлениях равно ЭДС,

(1.32)

Если изменить положительное

направление ЭДС или напряжения (сделать их встречными ), в формуле появитсязнак минус .

К источнику подключается нагрузка и тогда через нее протекает ток
. Свойства источникапостоянного напряжения или тока описываются еговольтамперной характеристикой (ВАХ) – зависимостью тока от напряжения
. Идеальный источник напряжения с ЭДС, равнойимеет вольтамперную характеристику, показанную на рис. 1.14. Если рассматривается источник переменного сигнала, то от токане зависят все его пара-

Рис. 1.14 метры .

Как видно, с ростом тока при постоянном напряжении мощность, отдаваемая идеальным источником напряжения в нагрузку, стремится к бесконечности . Это является следствием выбранной идеальной модели (формы ВАХ) и ее недостатком, так как любой физический источник не может отдать бесконечную мощность.

Графическое изображение идеального источника тока
показано на рис. 1.15а в виде окружности, внутри которой указано положительное направление тока. При подключении нагрузки на полюсах источника возникает напряжение
с указанным положительным направлением.

На рис. 1.15б показана ВАХ идеального источника постоянного тока. И для этой модели с ростом напряжения мощность, отдаваемая источником в нагрузку, стремится к бесконечности.

1.8. Основы топологического описания цепи

Электрической цепью называют совокупность соединенных между собой источников, потребителей и преобразователей электрической энергии, процессы в которых описываются в терминах тока и напряжения.

Физическая электрическая цепь (электронное устройство) состоит из физических элементов – резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, диодов, транзисторов и большого числа других электронных элементов. Каждый из них имеет условно-графическое обозначение в соответствии со стандартом – единой системой конструкторской документации (ЕСКД). Соединение этих элементов между собой графически представляется принципиальной схемой цепи (фильтра, усилителя, телевизора). Пример принципиальной схемы транзисторного усилителя показан на рис. 1.16.

Сейчас мы не будем обсуждать работу усилителя и на-

значение его элементов, а лишь отметим условно-графические обозначения использованных элементов, которые отдельно показаны на рис. 1.17. Жирной точкой отмечены электрические соединения элементов.

Рис. 1.17 Как видно, графические

обозначения резистора и конденсатора совпадают с обозначениями их моделей - сопротивления и емкости, а обозначения других отличаются.

Для расчета цепей используют их эквивалентные схемы илисхемы замещения , которые показывают соединения моделей элементов, образующих электрическую цепь. Каждый физический элемент принципиальной схемы заменяется соответствующей моделью, которая может состоять из одной или нескольких простейших идеальных моделей (сопротивления, емкости, индуктивности или источников сигнала). Примеры моделей физических элементов показаны на рис. 1.18.

Резистор и конденсатор чаще всего представляются своими идеальными моделями с теми же условно-графическими обозначениями. Катушка индуктивности может быть представлена идеальной индуктивностью, однако в ряде случаев необходимо учитывать ее сопротивление потерь . В этом случае модель катушки индуктивности представляется последовательным соединением идеальной индуктивности и сопротивления, как показано на рис. 1.18.

На рис. 1.19 в качестве примера показаны принципиальная схема параллельного соединения катушки индуктивности и конденсатора (такую цепь называютпараллельным колебательным контуром ) и эквивалентная схема этой цепи (катушка индуктивности заме-

нена последователь-

ным соединением Рис. 1.19

идеальной индуктив-

ности и сопротивления).

Эквивалентная схема цепи является ее топологическим описанием . С геометрической точки зрения в нем можно выделить следующие основные элементы:

Ветвь – последовательное соединение нескольких, в том числе и одного, двухполюсных элементов, в том числе и источников сигнала;

- узел - точка соединения трех и более ветвей;

- контур – замкнутое соединение двух и более ветвей.

На рис. 1.20 показан пример эквивалентной схемы цепи с обозначением ветвей, узлов (жирными точками) и контуров (замкнутыми линиями). Как видно, узел может представлять

собой не одну точку соединения, а несколько (распределенный узел, охваченный пунктирной линией).

В теории цепей существенное значение имеет число узлов эквивалентной схемы и число ветвей. Для цепи на рис. 1.20 имеется
узлов и
ветвей, одна из которых содержит только идеальный источник тока.

1.9. Соединения элементов цепи

Двухполюсные элементы электрической цепи могут соединяться между собой различным образом. Различают два простейших соединения: последовательное и параллельное.

Последовательным называют такое соединение двухполюсников, при котором через них протекает одинаковый ток. Его пример показан на рис. 1.21. В состав цепи на рис. 1.21 входит пассивные (RиC) и активные (идеальные источники напряжения
и
) эле-

Рис. 1.21 менты, через которые проте-

кает один и тот же ток
.

В сложной цепи (например, на рис. 1.20) можно выделять простые фрагменты (ветви) с последовательным соединением элементов (ветвь с источником
, пассивные ветви
и
).

Не имеет смысла соединять последовательно два идеальных источника тока или идеальный источник напряжения с идеальным источником тока.

Параллельным называют соединение двух и более ветвей с одной и той же парой узлов, при этом напряжения на параллельных ветвях одинаковы. Пример показан на рис. 1.22. Если ветви содержат по одному элементу, то говорят о параллельном соединении элементов. Например, на рис. 1.22 идеальный источник тока
и сопротивление Рис. 1.22

соеди нены параллельно.

Не имеет смысла соединять параллельно идеальные источника напряжения или идеальный источник напряжения с идеальным источником тока.

Смешанным называют соединение элементов (ветвей) цепи, которое нельзя рассматривать как последовательное или параллельное. Например, схема на рис. 1.21 является последовательным соединением элементов, а на рис. 1.22 –параллельным соединением ветвей, хотя в ветвях
и
элементы соединены последовательно.

Схема на рис. 1.20 является типичным представителем смешанного соединения, и в ней можно выделить лишь отдельные фрагменты с простыми соединениями.

1.10. Законы Кирхгофа для мгновенных значений сигналов

Два закона Кирхгофа устанавливают уравнения электрического равновесия между токами в узлах и напряжениями в контурах цепи.

Под алгебраическим суммированием понимают сложение или вычитание соответствующих величин.

Можно использовать и другую формулировку первого закона Кирхгофа: сумма мгновенных значений втекающих в узел токов равна сумме мгновенных значений вытекающих токов .

Пример схемы цепи показан на рис. 1.23, она повторяет схему на рис. 1 20 с указанием положительных направлений и обозначений токов и напряжений во всех элементах, а также номеров узлов (в кружках).

В цепи четыре узла и для каждого из них можно записать уравнение первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов ветвей,

Узел 1:
;

Узел 2:
;

Узел 3:
.

Нетрудно убедиться, что если просуммировать уравнения для узлов
и умножить результат на -1, то получим уравнение для узла 0. Следовательно, одно из уравнений (любое) линейно зависимо от остальных, и должно быть исключено. Таким образом, система уравнений по первому закону Кирхгофа для цепи рис. 1.23 может быть записана в виде

Очевидно, можно записать и другие варианты этой системы уравнений, но все они будут эквивалентны.

Физическим обоснованием первого закона Кирхгофа является принцип не накопления заряда в узле цепи. В любой момент времени заряд, поступивший в узел от втекающих токов должен быть равен заряду, покидающему узел за счет вытекающих токов.

Для выбора знаков в алгебраических суммах необходимо задать положительное направление обхода контура (чаще всего его выбираютпо часовой стрелке ). Тогда, если направление напряжения или ЭДС совпадает с направлением обхода, то в алгебраической сумме записывается знак плюс, а иначе – знак минус.

Независимыми называют контуры, которые отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью.

В схеме на рис. 1.23
,
(одна ветвь содержит идеальный источник тока) и
. Тогда в ней имеется
независимых контура. Как видно, общее число контуров существенно больше.

Выберем следующие независимые контуры:

C 1 ,R 2 ,C 2 ,C 3 ,

C 3 R 3 ,L,R 4 ,

с положительным направлением обхода по часовой стрелке и для них запишем уравнения второго закона Кирхгофа в виде

(1.34)

Можно выбрать и другие независимые контуры, например,

C 1 ,R 2 ,C 2 ,C 3 ,

E,R 1 ,R 2 ,C 2 ,C 3 ,

и для них записать уравнения второго закона Кирхгофа, которые будут эквивалентны системе (1.34).

Второй закон Кирхгофа базируется на фундаментальном законе природы – законе сохранения энергии. Сумма напряжений на элементах замкнутого контура равна работе по переносу единичного заряда в пассивных элементах контура, а сумма ЭДС – работе сторонних сил в идеальных источниках напряжения по переносу в них того же единичного заряда. Так как в результате заряд возвратился в исходную точку, то эти работы должны быть одинаковы.

1.11. Реальные источники сигнала

Рассмотренные выше идеальные источники напряжения и тока не всегда пригодны для формирования адекватных моделей электронных устройств. Основная причина этого - возможность передачи ими в нагрузку бесконечной мощности. В этом случае используют усложненные модели источников сигнала, которые называют реальными.

Эквивалентная схема (модель) реального источника напряжения показана на рис. 1.24. В ее состав входят идеальный источник напряжения
ивнутреннее сопротивление реаль-

ного источника. К источнику подключено сопротивление нагрузки
. По второму закону Кирхгофа можно записать

, (1.35)

а по закону Ома для сопротив-

Рис. 1.24 ления

. (1.36)

Подставляя (1.36) в (1.35) получим

,

откуда следует уравнение для вольт-амперной характеристики реального источника напряжения

, (1.37)

график которой для постоянных значений тока и напряжения приведен на рис. 1.25. Пунктирной линией показана вольтамперная характеристика идеального источника напряжения. Как видно, в реальном источнике максимальный ток ограничен , а

Рис. 1.25 значит отдаваемая им мощность не

может быть бесконечной.

При постоянном напряжении мощность, отдаваемая реальным источником (рис. 1.24) в нагрузку, равна

. (1.38)

Зависимость
при
В и
Ом показана на рис. 1.26. Как видно, максимальная мощность реального источника ограничена

чена и равна
при
. Рис. 1.26

Вольтамперная характеристика реального источника напряжения при
стремится к характеристике идеального источника рис. 1.14. Таким образом, можно определить идеальный источник напряжения какреальный источник с нулевым внутренним сопротивлением (внутреннее сопротивление идеального источника напряженияравно нулю ).

Эквивалентная схема реального источника тока показана на рис. 1.27. В ее состав входит идеальный источник токаи внутреннее сопротивление, к источнику подключена нагрузка
. Уравнение первого закона Кирхгофа для одного из узлов цепи рис. 1.27 имеет вид

. (1.39) Рис. 1.27

По закону Ома
, тогда из (1.39) получим выражение для вольт-амперной характеристики реального источника тока

. (1.40)

Для постоянного тока эта зависимость показана на рис. 1.28. Как видно, максимальное напряжение, выдаваемое источником в нагрузку, ограничено величиной
при бесконечном сопротивлении нагрузки. Мощность постоянного

Рис. 1.28 тока, отдаваемая в нагрузку, равна

. (1.41)

Она имеет вид, аналогичный рис. 1.26, соответствующий график при
мА и
Ом постройте самостоятельно. Максимум мощности достигается при
и равен
.

При стремящемся к бесконечности внутреннем сопротивлении вольтамперная характеристика реального источника тока стремится к характеристике идеального источника (рис. 1.15б). Тогдаидеальный источник можно рассматривать как реальный с бесконечным внутренним сопротивлением .

Сравнивая вольтамперные характеристики реальных источников напряжения и тока на рис. 1.25 и рис. 1.28, нетрудно убедиться, что они могут быть одинаковы при условиях

(1.42)

Это означает, что эти источники при условии (1.42)

эквивалентны , то есть в схемах замещения электрических цепейреальный источник напряжения можно заманить реальным источником тока и наоборот . Для идеальных источников такая замена невозможна.

1.12. Система уравнений электрической цепи

для мгновенных значений токов и напряжений

На основе законов Ома и Кирхгофа можно сформировать систему уравнений, связывающих между собой мгновенные значения токов и напряжений. Для этого необходимо выполнить следующие действия (рассмотрим их на примере цепи рис. 1.29).

Уравнения связи между током и напряжением в элементах или ветвях цепи называютподсистемой компонентных уравнений . Число уравнений равно количеству пассивных элементов или ветвей цепи. Как видно, в состав подсистемы входят дифференциальные или интегральные соотношения между токами и напряжениями.

В рассматриваемом примере для узлов 1, 2 и 3 эти уравнения имеют вид, например, (1.32)

(1.44)

Всего формируется
уравнений.

В схеме на рис. 1.29 выбранные три независимых контура отмечены круговыми линиями со стрелкой, указывающей положительное направление обхода. Для них уравнения второго закона Кирхгофа имеют вид (1.34)

(1.45)

Общее количество уравнений равно
.

Уравнения, сформированные по первому и второму законам Кирхгофа, называют подсистемой топологических уравнений , так как они определяются схемой (топологией) цепи. Общее количество уравнений в ней равно числу ветвей, не содержащих идеальные источники тока.

Совокупность подсистем компонентных и топологических уравнений образуют полную систему уравнений электрической цепи для мгновенных значений токов и напряжений, которая является полной моделью цепи.

Из компонентных уравнений нетрудно выразить все напряжения через токи ветвей, тогда для цепи на рис. 1.29 из (1.43) получим

(1.46)

(1.46’)

Подставляя (1.46) в уравнения второго закона Кирхгофа вида (1.45), получим систему уравнений для токов ветвей

(1.47)

Рассмотренный подход к формированию уравнений электрического равновесия цепи называют методом токов ветвей . Количество полученных уравнений равно числуветвей цепи,не содержащих идеальные источники тока .

Как видно, модель линейной цепи для мгновенных значений токов и напряжений вида (1.43), (1.44), (1.45) или (1.47) является линейной системой интегро-дифференциальных уравнений .

1.13. Задания для самостоятельного решения

Задание 1.1 . Напряжение
на емкостиCизменяется, как показано на рис. 1.30. Получите выражение для тока емкости
, мгновенной мощности
и накопленной энергии
, по-

стройте графики полу- Рис. 1.30

ченных функций.

Задание 1.2 . Напряжение
на сопротивленииRизменяется, как показано на рис. 1.31. Получите выражение для напряжения емкости
, по-стройте график
(через
необходимо оп-

ределить ток
,

а затем – напря- Рис. 1.31

жение
).

Задание 1.3 . Напряжение
на параллельном соединении сопротивленияRи индуктивностиLизменяется, как показано на рис. 1.32. Запишите выражение для общего тока
, постройте его график (необходимо

найти токи ветвей, а за- Рис. 1.32

тем их сумму – ток
).

Задание 1.4 . В схемах цепей, показанных на рис. 1.33, определите число узлов и ветвей, количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

Задание 1.5 . Для цепей, эквивалентные схемы которых показаны на рис. 1.33, запишите полные системы уравнений по закону Ома, первому и второму законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений элементов.

Задание 1.6 . Для цепи, показанной на рис. 1.34, запишите полную систему уравнений по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений элементов.

Целью преподавания дисциплины является изучение студентами теории различных электрических цепей для решения проблем передачи, обработки и распределения электрических сигналов в системах связи. Дисциплина должна обеспечивать формирование общетехнического фундамента подготовки будущих специалистов в области инфокоммуникационных технологий и систем связи, а также, создавать необходимую базу для успешного овладения последующими специальными дисциплинами учебного плана. Она должна способствовать развитию творческих способностей студентов, умению формулировать и решать задачи изучаемой специальности, умению творчески применять и самостоятельно повышать свои знания. Эти цели достигаются на основе фундаментализации, интенсификации и индивидуализации процесса обучения путём внедрения и эффективного использования достижений инфокоммуникационных технологий. В результате изучения дисциплины у студентов должны сформироваться знания, умения и навыки, позволяющие проводить самостоятельный анализ различных электрических цепей инфокоммуникационных устройств.

Главной задачей изучения ОТЦ является обеспечение целостного представления студентов о проявлении электромагнитного поля в электрических цепях, составляющих основу различных устройств инфокоммуникационных технологий. Другими задачами изучения ОТЦ являются: усвоение современных методов анализа, синтеза и расчёта электрических цепей, а также, методов моделирования и исследования различных режимов электрических цепей на персональных ЭВМ.

ОТЦ является первой дисциплиной, в которой студенты изучают основы построения, преобразования и расчета электрических цепей инфокоммуникационных устройств. Она находится на стыке дисциплин, обеспечивающих базовую и специальную подготовку студентов. Изучая эту дисциплину, студенты впервые знакомятся с принципами функционирования, методами анализа и синтеза рассматриваемых электрических цепей. Приобретенные студентами знания и навыки необходимы как для грамотной эксплуатации инфокоммуникационной аппаратуры, так и для разработки устройств, связанных с передачей и обработкой сигналов.

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей: Учебник для вузов; Под ред. В.П. Бакалова. 2-е изд., перераб. и доп. М., Радио и связь, 2000, 592 с.
2. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Санкт-Петербург, Лань, 2009, 544 с.
3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Под ред. Л.А. Бессонова. М., Высшая школа, 1980, 472 с.
4. Попов В.II. Основы теории цепей. М., Высшая школа, 1985, 496 с.
5. Основы теории цепей: Учебник для вузов / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.Н. Нетушил, С.В. Страхов. М., Энергоатомиздат, 1989, 528 с.
6. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. М., Высшая школа, 1986, 596 с.
7. Основы теории цепей: тестовое оценивание учебных достижений и качества подготовки \ Дмитриев В.Н., Зелинский М.М., Семенова Т.Н., Урядников Ю.Ф., Шашков М.С. Под ред. Ю.Ф. Урядникова. М., Горячая линия. Телеком, 2006, 240 с.

Список дополнительной литературы:

1. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи. Санкт- Петербург, Лань, 2009,592 с.
2. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. Санкт-Петербург, Лань, 2009, 432 с.
3. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. “Радиотехника”. М., Высшая школа, 1988, 448 с.
4. Бирюков В.Н., Попов В.П., Семенцов В.И. Сборник задач по теории цепей. М., Высшая школа, 1990, 238 с.
5. Данилов J1.B. и др. Теория нелинейных электрических цепей Л.В. Данилов, П.Н. Матханов, Е.С. Филиппов. Л., Энергоатомиздат, 1990, 256 с.
6. Добротворский И.Н. Теория электрических цепей: Учебник для техникумов. М., Радио и связь, 1990, 472 с.
7. Сборник задач по теоретическим основам электротехники. Под ред. Л. А. Бессонова. М., Высшая школа, 1980, 472 с.
8. Теория электрических цепей. Ч. I. / Под ред. Ю.Ф. Урядникова. Учебное пособие/ МТУСИ. М., 1999, 66 с.
9. Теория электрических цепей. Ч. II. / Под ред. Ю.Ф. Урядникова. Учебное пособие / МТУСИ. М., 2000, 64 с.
10. Теория электрических цепей. Ч. 111. / Под ред. Ю.Ф. Урядникова. Учебное пособие / МТУСИ. М., 2001, 66 с.
11. Фриск В.В. Основы теории цепей/ Учебное пособие. М., ИП РадиоСофг, 2002, 288 с.
12. Фриск В.В., Логвинов В.В. Основы теории цепей, основы схемотехники, радиоприемные устройства. Лабораторный практикум на персональном компьютере. М., СОЛОН-Пресс, 2008, 608 с.

Условные обозначения основных величин
Предисловие
Часть первая. Линейные электрические цепи
Глава 1. Основные свойства и преобразования электрических цепей
§ 1.1. Топология (геометрия) электрической цепи
§ 1.2. Эквивалентные схемы источников электрической энергии
§ 1.3. Эквивалентные преобразования источников электрической энергии
§ 1.4. Преобразование схем с двумя узлами, содержащих источники
§ 1.5. Основные свойства и теоремы линейных электрических цепей
§ 1.6. Дуальные элементы и схемы
§ 1.7. Алгоритм графического построения дуальной планарной схемы
§ 1.8. Электростатические схемы
§ 1.9. Методы расчета электростатических схем
§ 1.10. Основные величины, характеризующие гармонический ток
§ 1.11. Комплексный метод
§ 1.12. Алгоритм расчета комплексным методом
§ 1.13. Комплексные числа
§ 1.14. Основные комплексные величины и законы, характеризующие гармоническое напряжение (ток)
§ 1.15. Пассивные элементы в схеме гармонического тока
§ 1.16. Соединения и преобразования пассивных элементов
§ 1.17. Примеры эквивалентных преобразований
§ 1.18. Последовательное соединение элементов
§ 1.19. Параллельное соединение элементов
§ 1.20. Резонансы в линейных электрических цепях
§ 1.21. Двухполюсники
§ 1.22. Мощности цепи гармонического тока
§ 1.23. Векторные диаграммы простейших схем
§ 1.24. Круговая диаграмма для токов четырехполюсника
§ 1.25. Топографическая диаграмма
§ 1.26. Цепи с взаимной индуктивностью
§ 1.27. Согласное последовательное соединение индуктивно связанных катушек
§ 1.28. Встречное последовательное соединение индуктивно связанных катушек
§ 1.29. Параллельное соединение индуктивно связанных катушек. 46
§ 1.30. Опытное определение взаимной индуктивности
§ 1.31. Трансформатор без ферромагнитного сердечника (воздушный трансформатор)
§ 1.32. Расчет разветвленных цепей с взаимной индукцией
Глава 2. Негармонические токи
§ 2.1. Ряд Фурье для некоторых периодических негармонических функций
§ 2.2. Негармонические кривые с периодической огибающей
§ 2.3. Основные величины и коэффициенты негармонического тока
§ 2.4. Расчет цепей при периодических негармонических токах
§ 2.5. Измерение негармонических токов и напряжений
Глава 3. Цепи трехфазного тока
§ 3.1. Трехфазный генератор
§ 3.2. Симметричный режим в трехфазных цепях
§ 3.3. Напряжение смещения нейтрали при соединении неравномерной нагрузки звездой
§ 3.4. Определение токов в трехфазной цепи
§ 3.5. Преобразование трехфазной цепи со смешанной нагрузкой
§ 3.6. Метод симметричных составляющих
§ 3.7. Фазный множитель
§ 3.8. Сопротивления симметричной трехфазной цепи токам различных последовательностей
§ 3.9. Продольная и поперечная несимметрии трехфазной цепи
§ 3.10. Продольная несимметрия трехфазной цепи
§ 3.11. Виды продольной несимметрии
§ 3.12. Поперечная несимметрия трехфазной цепи
§ 3.13. Виды поперечной несимметрии
§ 3.14. Алгоритм расчета несимметричной трехфазной цепи
Глава 4. Методы расчета электрических схем
§ 4.1. Расчет схем по закону Ома
§ 4.2. Расчет схем по уравнениям Кирхгофа
§ 4.3. Матричная форма записи уравнений Кирхгофа
§ 4.4. Метод контурных токов
§ 4.5. Матричная форма записи уравнений методом контурных токов
§ 4.6. Метод узловых потенциалов
§ 4.7. Матричная форма записи уравнений методом узловых потенциалов
§ 4.8. Метод двух узлов
§ 4.9. Метод наложения
§ 4.10. Метод эквивалентного источника
§ 4.11. Метод компенсации
Глава 5. Топологические методы расчета электрических схем
§ 5.1. Основные понятия и определения
§ 5.2. Топологические матрицы графа
§ 5.3. Составление уравнений электрической схемы в матричной форме
§ 5.4. Нахождение определителя схемы по топологическим формулам
§ 5.5. Сигнальные графы
§ 5.6. Алгоритм построения сигнального графа по системе линейных уравнений
§ 5.7. Составление системы уравнений по сигнальному графу
§ 5.8. Преобразование сигнальных графов
§ 5.9. Топологическое правило определения передачи графа (формула Мэзона)
§ 5.10. Сигнальные графы уравнений четырехполюсников
§ 5.11. Сигнальные графы соединений четырехполюсников
Глава 6. Четырехполюсники
§ 6.1. Основные определения
§ 6.2. Уравнения пассивного четырехполюсника
§ 6.3. Уравнения четырехполюсника в А-форме (основные уравнения)
§ 6.4. Эквивалентные схемы и параметры пассивных четырехполюсников
§ 6.5. Соединения четырехполюсников
§ 6.6. Характеристические параметры четырехполюсников
§ 6.7. Передаточная функция (коэффициент передачи или амплитудно-фазовая характеристика) четырехполюсника
§ 6.8. Единицы измерения постоянной ослабления
Глава 7. Электрические фильтры
§ 7.1. Классификация
§ 7.2. Электрические реактивные цепные фильтры
§ 7.3. Реактивные фильтры типа k
§ 7.4. Реактивные фильтры типа т
§ 7.5. Безындукционные фильтры (RС-фильтры)
Глава 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
§ 8.1. Методы расчета
§ 8.2. Законы коммутации
§ 8.3. Классический метод
§ 8.4. Характер свободного процесса в зависимости от корней характеристического уравнения
§ 8.5. Составление характеристического уравнения
§ 8.6. Определение степени характеристического уравнения
§ 8.7. Начальные условия (начальные значения токов и напряжений при t=0
§ 8.8. Определение зависимых начальных условий
§ 8.9. Определение начальных условий для свободных составляющих токов и напряжений
§ 8.10. Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом
§ 8.11. Переходные процессы в простейших схемах
§ 8.12. Операторный метод
§ 8.13. Эквивалентные операторные схемы для элементов цепи с ненулевыми начальными условиями
§ 8.14. Закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме. Эквивалентные операторные схемы
§ 8.15. Нахождение оригинала по изображению
§ 8.16. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу
§ 8.17. Основные операторные преобразования по Лапласу
§ 8.18. Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом
§ 8.19. Расчет свободных составляющих операторным методом
§ 8.20. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля
§ 8.21. Единичные и переходные функции
§ 8.22. Действие единичных ступенчатых и единичных импульсных источников на индуктивный и емкостный элементы
§ 8.23. Алгоритм расчета переходных процессов методом интеграла Дюамеля
§ 8.24. Приведение схемы к нулевым начальным условиям
§ 8.25. Частотный метод
§ 8.26. Основные свойства одностороннего преобразования Фурье
§ 8.27. Спектральные характеристики некоторых функций
§ 8.28. Ряд и интеграл Фурье
§ 8.29. Алгоритм расчета переходных процессов частотным методом
§ 8.30. Метод переменных состояния
§ 8.31. Матричная форма записи уравнений методом переменных состояния
§ 8.32. Составление дифференциальных уравнений состояния с помощью уравнений Кирхгофа
§ 8.33. Составление дифференциальных уравнений состояния методом наложения
Глава 9. Установившиеся процессы в длинных линиях (цепях с распределенными постоянными)
§ 9.1. Общие сведения
§ 9.2. Параметры длинной линии 157
§ 9.3. Зависимость от геометрических размеров простейших линий
§ 9.4. Уравнения однородной длинной линии с потерями
§ 9.5. Входное сопротивление длинной линии с потерями
§ 9.6. Длинная линия без потерь
§ 9.7. Входное сопротивление длинной линии без потерь
§ 9.8. Стоячие волны
§ 9.9. Свойства распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии без потерь при
§ 9.10. Линия без искажений
§ 9.11. Линия, согласованная с нагрузкой
§ 9.12. Согласование линии без потерь с нагрузкой
§ 9.13. Измерительная линия
§ 9.14. Искусственная линия
§ 9.15. Длинная линия с переменными по длине параметрами
Глава 10. Переходные процессы в длинных линиях без потерь
§ 10.1. Падающая и отраженная волны
§ 10.2. Отражение волны от конца линии
§ 10.3. Многократное отражение волн при подключении источника постоянного напряжения к линии
§ 10.4. Эквивалентная схема для определения токов и напряжений в узлах линии
§ 10.5. Распределение напряжения и тока вдоль линий, соединенных через L или С
§ 10.6. Волны при включении и отключении ветвей
Глава 11. Синтез линейных электрических цепей
§ 11.1. Общие сведения
§ 11.2. Определение, свойства и признаки положительной вещественной функции
§ 11.3. Признаки положительности и вещественности рациональной функции
§ 11.4. Положительные вещественные функции Z(p) и Y(p) простейших двухполюсников
§ 11.5. Реализация реактивных двухполюсников разложением входной функции на простые дроби (реализация двухполюсников по Фостеру)
§ 11.6. Разложение по Фостеру мнимой входной функции Z (р)
§ 11.7. Разложение по Фостеру мнимой входной функции Y (р)
§ 11.8. Реализация вещественных положительных входных функций, имеющих полюсы и нули на мнимой оси и вещественной положительной полуоси
§ 11.9. Разложение входной функции в непрерывную дробь (реализация двухполюсников по Кауэру)
§ 11.10. Синтез четырехполюсников
§ 11.11. Передаточные функции четырехполюсника
§ 11.12. Реализация LC- и RС-четырехполюсников мостовой схемой
§ 11.13. Необходимые свойства параметров пассивного четырехполюсника при его синтезе
§ 11.14. Особенности передаточной функции напряжения четырехполюсников Ни
§ 11.15. Реализация LC- и RС-четырехполюсников цепной схемой
Часть вторая. Нелинейные электрические цепи
Глава 12. Нелинейные элементы
§ 12.1. Общие сведения
§ 12.2. Резистивные элементы
§ 12.3. Двухполюсные резистивные элементы
§ 12.4. Управляемые двухполюсные резистивные элементы
§ 12.5. Управляемые трехполюсные резистивные элементы
§ 12.6. Расчет нелинейных цепей постоянного тока
§ 12.7. Метод двух узлов
§ 12.8. Статическое и дифференциальное сопротивления
§ 12.9. Эквивалентная замена нелинейного резистивного элемента линейным резистивным элементом и источником э. д. с.
§ 12.10. Расчет разветвленной схемы с нелинейными элементами
Глава 13. Нелинейные индуктивные и емкостные элементы
§ 13.1. Нелинейные индуктивные элементы
§ 13.2. Кривые намагничивания В(H) ферромагнитных материалов
§ 13.3. Потери в реальном индуктивном элементе
§ 13.4. Основные величины и зависимости, характеризующие магнитное поле
§ 13.5. Формальная аналогия между электрической и магнитной цепями постоянного тока
§ 13.6. Расчет магнитной цепи при постоянном токе. Прямая задача
§ 13.7. Расчет магнитной цепи при постоянном токе. Обратная задача
§ 13.8. Неразветвленная магнитная цепь постоянного магнита
§ 13.9. Катушка с ферромагнитным сердечником
§ 13.10. Нелинейные цепи с управляемым индуктивным элементом
§ 13.11. Магнитный усилитель мощности
§ 13.12. Трансформатор с ферромагнитным сердечником
§ 13.13. Пик-трансформатор
§ 13.14. Нелинейные емкостные элементы
§ 13.15. Резонансные явления в нелинейных цепях
Глава 14. Аппроксимация нелинейных характеристик
§ 14.1. Аппроксимирующие функции
§ 14.2. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
§ 14.3. Кусочно-линейная аппроксимация вольт-амперных характеристик
§ 14.4. Схемы замещения идеальных элементов с кусочно-линейными характеристиками
§ 14.5. Выпрямление переменного тока
§ 14.6. Определение коэффициентов аппроксимирующей функции
Глава 15. Аналитические методы анализа периодических процессов в нелинейных цепях
§ 15.1. Общие сведения
§ 15.2. Метод гармонической линеаризации (частотный метод)
§ 15.3. Метод гармонического баланса
§ 15.4. Метод медленно меняющихся амплитуд
§ 15.5. Метод кусочно-линейной аппроксимации
§ 15.6. Метод аналитической аппроксимации
Глава 16. Графические методы анализа периодических процессов в нелинейных цепях
§ 16.1. Расчет по характеристике для мгновенных значений
§ 16.2. Расчет по характеристике для первой гармоники
§ 16.3. Расчет по характеристике для действующих значений
Глава 17. Методы расчета переходных процессов в нелинейных цепях
§ 17.1. Методы расчета переходных процессов в схемах с одним нелинейным реактивным элементом
§ 17.2. Метод линейной аппроксимации
§ 17.3. Метод кусочно-линейной аппроксимации
§ 17.4. Метод аналитической аппроксимации
§ 17.5. Метод последовательных интервалов
§ 17.6. Метод графического интегрирования
§ 17.7. Метод фазовой плоскости
Глава 18. Автоколебания
§ 18.1. Общие сведения
§ 18.2. Релаксационные колебания
§ 18.3. Почти гармонические колебания
§ 18.4. Устойчивость состояния равновесия
§ 18.5. Устойчивость в малом
§ 18.6. Алгоритм получения линеаризованных уравнений для исследуемой величины
§ 18.7. Теорема А. М. Ляпунова об установлении устойчивости в малом автономных нелинейных систем
§ 18.8. Критерий устойчивости Гурвица
Глава 19. Электрические цепи с переменными параметрами
§ 19.1. Общие сведения
§ 19.2. Элементы с переменными параметрами
§ 19.3. Цепь с резистивным элементом
§ 19.4. Цепь с индуктивным элементом
§ 19.5. Цепь с емкостным элементом
§ 19.6. Анализ цепей с переменными параметрами
§ 19.7. Параметрические колебания
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель

4.5. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Истоками теории электрических цепей в качестве раздела ТЭ в значительной мере являются технические задачи передачи и распространения энергии и анализ режимов в электрических цепях. В этом разделе теории наиболее остро встали проблемы создания математических моделей реальных устройств. Для относительно простых электрических цепей постоянного тока топология цепей и их эквивалентных схем совпадали и, таким образом, математические модели цепей

и эквивалентные им идеальные цепи, представленные в виде электрических схем, были тождественны. Но даже в этих простых моделях и эквивалентных им схемах нашли отражение принципы перехода от ЭМП с распределенными в пространстве и во времени векторами напряженностей электрического Е и магнитного Н полей к идеализированным цепям с сосредоточенными параметрами (R, L, С) и интегральными величинами (токи, напряжения, заряды и потоко-сцепления). Именно при расчете параметров эквивалентных схем наиболее полно выявилась неразрывная связь между задачами теории ЭМП и физическими и математическими проблемами создания математических моделей. Например, практика передачи сигналов при помощи азбуки Морзе показала существенное влияние длины линии связи на уровень сигнала. Особенно остро эта проблема встала при попытке осуществить трансатлантическую телеграфную связь в середине XIX в. Решению этой проблемы способствовало понимание физической природы этого явления, связанного с особенностями временных и пространственных изменений токов и напряжений линии, на основе которого и были сформулированы уравнения в частных производных, названные телеграфными или волновыми. Несмотря на то обстоятельство, что теория электрических цепей с распределенными параметрами в середине XIX в. родилась для решения специфических задач линий связи, понятия бегущих, отраженных, преломленных волн и волнового сопротивления в середине XX столетия вошли также в теорию четыреполюсников, электрических фильтров, цепных схем, формирующих формы сигналов цепей и др. Решение ряда задач, для которых была характерна необходимость более детального описания ЭМП в реальных устройствах, также было связано с формированием математических моделей в форме телеграфных уравнений. Методы решения таких уравнений были использованы для расчета волновых процессов в электрических машинах, трансформаторах, ЛЭП. Разработанный в ТЭ математический аппарат, методы и понятия для расчета распространения электромагнитной волны в цепях с распределенными параметрами дали возможность практически с одних и тех же позиций исследовать процессы и в миниатюрных слаботочных интегральных схемах и в охватывающей всю страну сильноточной ЕЭС.

Важным в теории электрических цепей является раздел, относящийся к расчету и анализу установившихся и переходных процессов в линейных цепях (ЛЦ) с сосредоточенными параметрами. Математические модели реальных устройств, как правило, являются упрощенными, идеализированными образами исходных физических процессов. Степень соответствия этих образов исходным зависит от уровня понимания физических процессов и возможности математически строго и достаточно полно учитывать характерные особенности процессов и свойств сред. Математические модели физических процессов в реальных системах в основном характеризуются нелинейными уравнениями. Одной из основных задач ТЭ в течение первой половины XX в. являлась разработка методов создания математических моделей. Для этого необходимо было правильное понимание картины протекания физических процессов. По этой причине в ТЭ большое место занял раздел под названием «Физические основы электротехники». В развитии этого раздела большой вклад внесла отечественная школа теоретических основ электротехники, созданная В.Ф. Миткевичем, К.А. Кругом, Л.Р. Нейманом, П.Л. Калантаровым, К.М. Поливановым, А.В. Нетушилом и их учениками. Были выработаны критерии, позволяющие для большого количества реальных устройств и режимов их работы выделить такие математические модели, которые в первом приближении допускают линеаризацию и описываются системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Сочетание методов решения таких уравнений и метода последовательных приближений применительно к линеаризованным моделям дало возможность отыскать более точные решения нелинейных задач для устройств, математические модели которых описывались нелинейными уравнениями.

Развитие методов расчета ЛЦ происходило в течение всего XX в., первоначально преимущественно для цепей с периодическими токами и напряжениями и простых цепей при ЭДС, несинусоидальной формы кривой. Предложенный Ч.П. Штейнмецем метод использования комплексных чисел для расчета установившихся процессов в цепях с синусоидальными токами и напряжениями в сочетании с разложением периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье стал основным инструментом для расчета ЛЦ. В России и СССР основными пропагандистами этих методов стали К.А. Круг, В.Ф. Миткевич, Г.Е. Евреинов, А.И. Берг и др. Применение комплексного метода позволяло алгебраизировать интегродифференциальные уравнения и производить расчеты сложных электрических цепей. В связи со скромными возможностями используемых до середины 50-х годов технических средств вычислений (логарифмические линейки, механические счетные устройства) большое значение приобрели методы, позволяющие снизить порядок уравнений. Наряду с предложенным еще Д.К. Максвеллом методом контурных токов и узловых напряжений в практику расчетов были введены методы эквивалентного генератора, симметричных составляющих, эквивалентных преобразований и др. Существенное развитие теории линейных систем и электрических цепей связано с описанием динамических процессов в них при помощи метода переменных состояния (Т. Башков, Л. Заде, Ч. Дезоер, Ю.В. Ракитский, К.С. Демирчян, В.Г. Миронов, П.Н. Матха-нов, П.А. Бутырин и др.), позволившего более продуктивно использовать классические математические формы описания системы дифференциальных уравнений (уравнения Коши) и возможности ЭВМ. По мере усложнения конфигурации электрических цепей для расчета установившихся процессов в сложных электрических цепях были предложены методы расщепления цепей на четырехполюсные и многополюсные подцепи (Э.В. Зелях, 1931 г.; Г.Е. Пухов, 1949 г.; Р.А. Воронов, 1951 г.; В.П. Сигорский, 1954 г.; Г.Т. Адонц, 1951 г. и др.) с привлечением новых разделов тензорного анализа (Г. Крон), диакоптики (Г. Крон, А.З. Гамм, Л.А. Крумм, И.А. Шер, М.А. Шакиров, О.Т. Гераскин, В.А. Строев и др.) и матричной алгебры (В.П. Сигорский, А.И. Петренко, В.Г. Миронов и др.). Специфика расчета электрических цепей, особенно ЕЭС, породила новое направление в теории матриц, связанное с использованием особенностей слабозаполненных матриц для упрощения процедуры их обращения (Н. Сато и К. Тинней, 1963 г.). Методы обращения слабозаполненных матриц, разработанные в ТЭ с учетом возможностей ЭВМ, легли в основу специального раздела прикладной математики и оказались продуктивными и для других областей техники. Тождественность математических моделей и идеализированных электрических цепей позволила отыскать физические аналоги для различных математических процедур. Например, физически наглядно можно представить прямой и обратный ходы Гаусса, а также тензорный метод Крона с его элементарными контурами через процедуру сворачивания схемы электрической цепи при помощи представления влияния тока в одной ветви на напряжение другой через индуктивную связь (М.А. Шакиров). В электроэнергетике нашел широкое применение метод симметричных составляющих не только для расчета цепей, но также для создания аппаратуры с целью улучшения качества преобразования электрической энергии и создания теории и методов измерения мощности и электрической энергии (А.Н. Милях, А.К. Шидловский, И.М. Чиженко, Г.М. Торбенков, Ф.А. Крогерис и др.).

Для ТЭ характерно стремление разработать такие теоретические методы, которые обеспечивают возможность произвести качественный и количественный анализ результатов решения конкретной задачи. С этой точки зрения использование матричных методов без применения современных ЭВМ вплоть до 70-х годов носило больше методический, чем прикладной характер. Именно стремление довести решение задачи до аналитических выражений для выяснения общих свойств решаемой задачи помимо получения численных результатов в 50-х годах породило методы: матрично-топологичёские (Л.Д. Кудрявцев, Э.А. Меерович, Э.В. Зелях, В.А. Тафт, В.П. Сигорский и др.), алгебраические (К.Т. Ванг, С. Беллерт, Г. Возняцки, Я.К. Трохименко, П.Ф. Хасанов) и сигнальных графов (С. Мэзон, Г. Циммерман П.А. Ионкин, и др.). Однако для цепей с большим количеством узлов и контуров расчеты, произведенные по этим методам для вычисления определителя матрицы и ее алгебраических дополнений, оказались громоздкими. На практике эти методы оказываются малопродуктивными для анализа электрических цепей, поскольку выражение для определителя цепи даже с шестью узлами при взаимном соединении всех узлов будет содержать 6 4 = 1296 слагаемых. Не намного более продуктивным оказался и метод сигнальных графов по тем же причинам. Однако эти методы сыграли важную методическую роль и позволили по-иному формировать математические модели для многочисленных прикладных задач с уравнениями низкого порядка.

Важным новым направлением развития теории электрических цепей стала диагностика их параметров и состояния. Задачи, связанные с диагностикой, приобрели определяющее значение при управлении процессами в электрических цепях и системах. Особенно острыми они стали при организации диспетчерской службы ЕЭС страны для принятия оперативных решений по управлению эффективным распределением потоков электромагнитной энергии в ней.

Для решения этой задачи требуется знание текущего состояния системы т.е. ее структуры и параметров элементов системы, для чего и необходимо провести диагностику системы: определить путем измерений и расчетов параметры, необходимые для управления состоянием системы (или электрической цепи), и организовать проверку достоверности результатов диагностики. В решение этой проблемы заметный вклад внесли Н.В. Киншт, П.А. Бутырин, А.З. Гамм и др.

В теории линейных цепей особое положение занимают цепи с переменными во времени параметрами. Математический аппарат, пригодный для представления решения уравнений процессов в аналитической форме, существенно менее развит, чем таковой для линейных цепей, и в этом основная причина сложности создания пригодной для практики теории расчета процессов в таких цепях. Общие решения и анализ их свойств содержится во многих работах (в частности, Л. Заде и Ч. Дезоер «Теория линейных систем», К.С. Демирчян и П.А. Бутырин «Моделирование и машинный расчет электрических цепей», В.А. Тафт «Электрические цепи с переменными параметрами»). Исследованию специфических свойств таких цепей, в частности случаю периодичности изменения параметров цепей, посвящены многие работы. В таких цепях при помощи нахождения соответствующих преобразований иногда оказывается возможным свести их к цепям с постоянными параметрами. Этот случай характерен для описания процессов в электрических машинах (А.А. Горев).

Из книги Интерфейс: новые направления в проектировании компьютерных систем автора Раскин Джефф

B. Теория работы интерфейса для SwyftCard Некоторые из принципов, рассмотренных в этой книге, впервые были опубликованы в 1984 году в руководстве для SwiftCard. Система SwiftCard, предназначенная для довольно успешного в то время Apple II, была (по сегодняшним стандартам) простой. Приложение

Из книги Приборостроение автора Бабаев М А

23. Расчет точности электрических цепей приборов. Методы расчета В электрических цепях механизмов в основном используют следующие элементы: сопротивления R; емкости С; индуктивности L; взаимные индуктивности М.Параметры этих элементов не обязательно зависят от токов,

Из книги Загадка булатного узора автора Гуревич Юрий Григорьевич

24. Другие методы расчета точности электрических цепей приборов 1. Аналитический метод. В цепях, где есть реактивные элементы, рассматриваются реальные (не идеальные) цепи. Разница между ними – наличие погрешностей в реальных и отсутствие их в идеальных – приводит к

Из книги Фактор четыре. Затрат - половина, отдача - двойная автора Вайцзеккер Эрнст Ульрих фон

35. Элементы электронных цепей ИП Зачем нужны электронные устройства в ИП (измерительных приборах)? Для самых различных целей: от усиления слабых сигналов датчиков до преобразования или генерирования сигналов самых различных форм и частоты.При их изготовлении используют

Из книги Материаловедение: конспект лекций автора Алексеев Виктор Сергеевич

Перламутровая теория булата Первые исследования микроструктуры литого металла привели Д. К. Чернова к открытию закономерностей кристаллизации стального слитка. Это являлось крупным научным достижением, открывающим путь к получению качественных сталей. Все же Д. К.

Из книги Учебник по ТРИЗ автора Гасанов А И

4.3. Теория рынка против практики Среди ученых Института Санта-Фе, исследующих современную математическую теорию хаотических систем, бытует поговорка: «В теории теория и практика - это одно и то же, но на практике - это разные вещи». То же самое можно сказать о рынках, и

Из книги Баллистическая теория Ритца и картина мироздания автора Семиков Сергей Александрович

Из книги Новые источники энергии автора Фролов Александр Владимирович

20. Теория развития творческой личности (завершающая

Из книги Руководство по управлению космическим кораблём «Земля» автора Фуллер Ричард Бакминстер

Часть 1 РИТЦ И ЕГО БАЛЛИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ Прежде всего, от вещей всевозможных, какие мы видим, Необходимо должны истекать и лететь, рассыпаясь, Т?льца, которые бьют по глазам, вызывая в них зренье… Тонкой подобно плеве, от поверхности тел отделяясь, В воздухе реют они, летая

Из книги История электротехники автора Коллектив авторов

§ 4.16 Неквантовая теория теплоёмкости Первоначала вещей сначала движутся сами, Следом за ними тела из малейшего их сочетанья, Близкие, как бы сказать, по силам к началам первичным, Скрыто от них получая толчки, начинают стремиться Сами к движенью затем понуждая тела

Из книги автора

§ 4.17 Неквантовая теория проводимости Этот тончайший огонь из огней существующих в мире, Сделан природою весь из мельчайших и самых подвижных Тел, для которых ничто не в силах поставить преграды. Даже сквозь стены домов проникают могучие молньи… Внутрь проникает она и

Из книги автора

Глава 6 Эксперименты и теория Тесла История жизни и творчества Николы Тесла должна изучаться в школе. Его имя сегодня ассоциируется с вращающимся магнитным полем, высоковольтными катушками, энергосистемами и моторами переменного тока, токами высокой частоты и

Из книги автора

Основная теория систем Как мы можем использовать наши интеллектуальные возможности с большей пользой? Наши мускулы намного слабее по сравнению с мускулами многих животных. Сумма всех наших мускул ничто по сравнению с силой торнадо или атомной бомбы, которую общество

Из книги автора

4.6. ТЕОРИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛЦ Важным разделом в ЛЦ являются методы анализа переходных процессов. На заре зарождения теории электрических цепей стало очевидным, что переход от одного установившегося режима к другому происходит не сразу. Наличие в электрических

Из книги автора

4.8. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В самом общем случае при учете всех физических факторов математическая модель реального устройства всегда будет состоять из системы нелинейных уравнений. Современное состояние разработки в математике методов

Из книги автора

4.9. ТЕОРИЯ ЭМП В ТЭ теория ЭМП имеет фундаментальное значение в связи с необходимостью освоить профессиональные навыки, способствующие пониманию особенностей протекания процессов взаимодействия ЭМП с вещественными средами, распределения и распространения

Содержание статьи

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ, совокупности соединенных определенным образом элементов и устройств, образующих путь для прохождения электрического тока. Теория цепей – раздел теоретической электротехники, в котором рассматриваются математические методы вычисления электрических величин. Многие из этих электрических величин определяются параметрами компонентов, составляющих цепи, – сопротивлениями резисторов, емкостями конденсаторов, индуктивностями катушек индуктивности, токами и напряжениями источников электрической энергии. Электрические цепи подразделяются на цепи постоянного тока и цепи переменного тока.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Ток.

Сила электрического тока в проводе определяется как электрический заряд, проходящий через поперечное сечение провода за единицу времени. Заряд измеряется в кулонах; один кулон в секунду равен одному амперу.

Направлением тока далее будем считать направление, в котором двигались бы положительные заряды. На самом деле ток в большинстве случаев создается движением электронов, которые, будучи заряжены отрицательно, движутся в направлении, противоположном принятому за направление тока. Ток неизменяющейся силы обозначается через I , а мгновенное значение изменяющегося тока – через i .

Потенциал.

Если для перемещения заряда между двумя точками необходимо затратить энергию или если при перемещении заряда между двумя точками заряд приобретает энергию, то говорят, что в этих точках имеется разность потенциалов. Энергия необходима для перемещения заряда от более низкого потенциала к более высокому. На схемах рядом с точкой более высокого потенциала ставится знак +, а рядом с точкой более низкого – знак -.

Батарея или генератор электрического тока – это устройство, которое сообщает энергию зарядам. Источник тока перемещает положительные заряды от меньшего потенциала к большему за счет химической энергии. Неизменяющаяся разность потенциалов обозначается через V , а мгновенное значение изменяющейся разности потенциалов – через e .

Разность потенциалов на зажимах батареи или генератора называется электродвижущей силой (ЭДС) и обозначается через E g , если она не изменяется, и через e g , если она переменна. Разность потенциалов в двух точках a и b обозначается через V ab . Разность потенциалов и ЭДС измеряются в вольтах.

ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ

Цепь может представлять собой любую комбинацию батарей и генераторов, а также резистивных и реактивных элементов. Батареи и генераторы в теории цепей рассматриваются либо как источники напряжения (ЭДС) с определенным внутренним сопротивлением, либо как источники тока с определенной внутренней проводимостью. Цепь, не содержащая источников тока и напряжения, называется пассивной, а цепь с источниками тока или напряжения – активной. Целью анализа цепи является определение полного сопротивления (импеданса) между любыми двумя точками цепи и нахождение математического выражения для тока через любой элемент цепи или для напряжения на любом элементе цепи при любых заданных ЭДС источников напряжения и любых токах источников тока. Всякий замкнутый путь тока в цепи называется контуром. Узлом цепи называется всякая ее точка, в которой соединяются три или большее число ветвей цепи.

На рис. 1 представлена цепь с двумя контурами. Стрелками I 1 , I 2 и I 3 показано предполагаемое направление токов в импедансах этих контуров. От токов не требуется, чтобы они были в фазе; но в простейшем случае, когда импедансы – сопротивления, решение уравнений относительно любого тока I будет отрицательным, если принято неправильное направление тока. Поэтому предполагаемое направление токов может быть любым. Принятые положительные и отрицательные потенциалы, соответствующие ЭДС источников напряжения, указаны знаками + и -. Следует иметь в виду, что напряжение на импедансе понижается в направлении тока и повышается в противоположном направлении. Это тоже указано знаками + и -.

Законы Кирхгофа.

Зависимости между токами и напряжениями в электрической цепи устанавливаются на основании двух законов, сформулированных Г.Кирхгофом (1847): 1) алгебраическая сумма ЭДС источников напряжения и напряжений на элементах контура равна нулю и 2) алгебраическая сумма токов в каждом узле равна нулю.

В первом законе Кирхгофа находит выражение то очевидное обстоятельство, что при полном обходе контура мы возвращаемся в исходную точку с тем же самым потенциалом. Второй закон Кирхгофа есть констатация того, что в узловой точке ток не может ни исчезать, ни возникать. Ток к узлу считается положительным, а ток от узла – отрицательным.

Применив закон Кирхгофа для напряжений к двум контурам цепи, представленной на рис. 1 (и воспользовавшись законом Ома – выражением V Z = IZ для напряжения на импедансе Z , создаваемого током I ), мы получим для контура 1 уравнение

а для контура 2 – уравнение

Применив закон Кирхгофа для токов к любому из узлов, получаем

Если ЭДС (E g ) 1 и (E g ) 2 , а также импедансы известны, то из уравнений (1)–(3) можно вычислить все три тока.

Контурные токи.

В случае цепей с большим числом контуров метод контурных токов позволяет не записывать уравнения для токов, следующие из второго закона Кирхгофа. Для этого в той же цепи, что и раньше, представленной на рис. 2, принимают один ток для каждого контура. Как и прежде, направление токов выбирается произвольно. Закон Кирхгофа для напряжений дает для контура 1

В напряжение на импедансе Z 3 , рассматриваемом как элемент одного контура, входит напряжение, обусловленное током другого контура: в уравнении (4) имеется слагаемое (–Z 3 I 2), а в уравнении (5) – слагаемое (–Z 3 I 1). Уравнения (4) и (5) можно было бы получить из уравнений (1)–(3), подставив в первые два ток I 2 из третьего, но метод контурных токов приводит к тому же результату всего за два шага.

Принцип суперпозиции.

Предположим, что в активной цепи в разных ее точках имеется несколько источников напряжения или тока. Согласно принципу суперпозиции, ток, создаваемый любым источником в любом элементе цепи, не зависит от других источников. Следовательно, полный ток в любом элементе равен сумме токов, создаваемых всеми источниками по отдельности. При вычислении тока, создаваемого каждым из источников напряжения или тока, другие источники напряжения заменяются их внутренними импедансами, а другие источники тока – их внутренними проводимостями.

Теорема Тевенена.

Эта теорема, называемая также теоремой об эквивалентном источнике, утверждает, что любую активную цепь с двумя полюсами (зажимами) в установившемся режиме можно заменить источником напряжения с некоторым внутренним импедансом. ЭДС эквивалентного источника напряжения равна напряжению на полюсах ненагруженного заменяемого двухполюсника, а внутренний импеданс источника равен импедансу этого двухполюсника при ЭДС источников напряжения в нем, равных нулю.

Рассмотрим, например, цепь, представленную на рис. 3. Эта активная цепь заменяется источником напряжения, ЭДС E g ў и внутренний импеданс Z g ў которого таковы:

ЭДС E g ў есть напряжение на разомкнутых полюсах a и b , равное напряжению на Z 1 . Внутренний импеданс Z g ў равен импедансу между точками a и b исходного двухполюсника, т.е. импедансу последовательного соединения Z 2 с параллельно соединенными Z 1 и Z g . Для любого элемента, присоединенного к полюсам a и b обоих двухполюсников, токи и напряжения будут одинаковы.

Теорема Нортона.

Эта теорема, аналогичная теореме Тевенена, утверждает, что любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником тока с некоторой внутренней проводимостью. Ток эквивалентного источника равен току короткого замыкания между полюсами a и b исходного двухполюсника. Внутренняя проводимость эквивалентного источника тока определяется тем же, что и в теореме Тевенена, импедансом между полюсами двухполюсника, присоединенным параллельно источнику. На рис. 4

а импеданс Z g ў дается выражением (7). Если полюса a и b исходного двухполюсника замкнуть накоротко, то источник напряжения с ЭДС E g будет нагружен импедансом Z g и параллельным соединением импедансов Z 1 и Z 2 , откуда и следует выражение (8).

Преобразование Т-П.

Часто требуется заменить Т-образный четырехполюсник П-образным или наоборот. Чтобы два таких четырехполюсника (рис. 5) были эквивалентны, должны быть одинаковы токи и напряжения между их полюсами при прочих равных условиях за пределами полюсов. Параметры цепи для преобразования Т ® П таковы:

Формулы для преобразования П Т имеют вид

Переходные процессы.

Переходным называется процесс изменения электрических величин в цепи при ее переходе из одного установившегося режима в другой. При анализе переходных процессов ток, напряжение или заряд в некоторой точке цепи обычно представляют в виде функции времени.

Рассмотрим цепь с источником напряжения (батареей с ЭДС E g ), представленную на рис. 6. После замыкания ключа сумма мгновенных значений напряжения на резисторе и конденсаторе должна быть равна E g :

Поскольку i = dq /dt , уравнение (10) можно переписать в виде дифференциального уравнения

решение которого таково:

Соответствующий ток равен:

где e – основание натуральных логарифмов.

На рис. 7 представлены графики изменения заряда конденсатора q и тока i во времени. В начальный момент (t = 0), когда ключ только замкнут, заряд конденсатора равен нулю, а ток равен E g /R , как если бы конденсатора в цепи не было. Затем заряд конденсатора нарастает по экспоненте. Обусловленное зарядом напряжение на конденсаторе направлено навстречу ЭДС источника, и ток по экспоненте убывает до нуля. В момент замыкания ключа конденсатор эквивалентен короткому замыканию, а по истечении достаточно длительного времени (при t = Ґ) – разрыву цепи.

Постоянная времени RC -цепи определяется как время, за которое заряд достигает значения, на 1/e (36,8%) отличающегося от конечного значения. Она дается выражением

Аналогичные рассуждения можно провести для RL -цепи, представленной на рис. 8. Сумма мгновенных напряжений e R и e L должна быть равна E g . Это условие записывается в виде дифференциального уравнения

решение которого таково:

На рис. 9 решение (11) представлено в графической форме. Сразу же после замыкания ключа (при t = 0) ток начинает быстро увеличиваться, наводя большое напряжение на катушке индуктивности. Наведенное напряжение противодействует изменению тока. По мере того как нарастание тока замедляется, наведенное напряжение уменьшается. При t = Ґ ток не меняется, и наведенное напряжение равно нулю. Таким образом, в конце концов ток принимает значение, которое он имел бы, если бы в цепи не было катушки индуктивности. (При t = 0 катушка индуктивности эквивалентна разрыву цепи, а по истечении достаточно длительного времени – короткому замыканию.)

Постоянная времени RL -цепи определяется как время, за которое ток достигает значения, на 1/e отличающегося от конечного значения. Она дается выражением

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

Мост Уитстона.

Мост Уитстона – это схема электрической цепи для точного измерения сопротивлений на постоянном токе. Соответствующая принципиальная схема представлена на рис. 10, где измеряемое сопротивление обозначено через R x . Остальные сопротивления известны, и их можно изменять. Если известные сопротивления подобрать так, чтобы высокочувствительный амперметр A показывал отсутствие тока, это означало бы, что потенциал точек b и c одинаков. В таком случае, обозначив ток через резисторы R 1 и R 3 символом I 1 , а ток через R 2 и R x – символом I 2 , можно записать

Фильтры.

Фильтры – это электрические цепи, пропускающие лишь определенные частоты и задерживающие все остальные. Идеальный фильтр верхних частот имеет полосу пропускания выше заданной «частоты среза» и полосу задерживания для более низких частот. Полосовой фильтр имеет полосу пропускания, расположенную между двумя заданными частотами среза. Общая схема включения фильтра показана на рис. 11. В качестве примера на рис. 12,a представлен фильтр нижних частот, включенный между генератором и нагрузкой R . На низких частотах импеданс катушек индуктивности мал, а конденсатора – велик, и почти весь ток проходит через нагрузку R . На высоких частотах импеданс катушек индуктивности велик, из-за чего снижается ток, а импеданс конденсатора мал, так что он как бы замыкает накоротко цепь малого тока, проходящего через первую катушку индуктивности. Справа на рис. 12,a